V Olimpíada de Mayo - 1999 - N1P1

[lendsarctic280]

Se eligen dos números enteros entre $1$ y $100$ inclusive tales que su diferencia es $7$ y su producto es múltiplo de $5$.
¿De cuántas maneras se puede hacer esta elección?

[lendsarctic280]

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Temos que, se o produto é múltiplo de $5$ e a diferença é $7$, que não é múltiplo de $5$, então um dos números deve conter um fator $5$. Deste modo, o número $5$ contará uma vez com $5+7=12$, os números $95$ e $100$ contarão uma vez com $95-7=88$ e $100-7=93$, e os números entre $10$ e $90$ contarão duas vezes. No total, isso é $17\cdot2+3=34+3=\boxed{37}$.