Pretorneo 2025 NJ P4

[Ulis7s]

En el pizarrón están escritos los $100$ números enteros desde $1$ hasta $100$ inclusive. En cada movida, Beto borra dos números, $a$ y $b$, con $a\geq b>0$, y escribe el número $\left \lfloor \frac{a}{b}\right \rfloor$ (la parte entera de $\frac{a}{b}$). Por ejemplo, si borra $71$ y $18$, entonces escribe $\left \lfloor \frac{71}{18}\right \rfloor =3$. Al cabo de $99$ movidas de este tipo, habrá un solo número en el pizarrón. Determinar el máximo valor posible de este número.

Aclaración: La parte entera del número $x$ es el mayor entero que es menor o igual que $x$. Por ejemplo, $\left \lfloor \frac{35}{5}\right \rfloor =7$; $\left \lfloor \frac{63}{11}\right \rfloor =5$; $\left \lfloor \frac{90}{25}\right \rfloor =3$.

[Laureano U]

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Notemos que si tomamos dos números positivos $a \geq b$, siempre $\lfloor{\frac{a}{b}}\rfloor \leq a$, y la igualdad sólo se cumple si $b = 1$. De modo que el mayor número que puede aparecer en el pizarrón no es otro que el mayor que ya está escrito, $100$.

Veremos cómo es posible que $100$ sea el último número escrito en el pizarrón. Empezaremos con las siguientes movidas: tomaremos $a=99, b=98$, y escribiremos $1$; luego, tomaremos $a=97, b=96$, y escribiremos $1$; así sucesivamente hasta llegar a $a=3, b=2$, y escribiremos $1$. Ahora tenemos cincuenta unos, y un $100$ en el pizarrón. De a turnos, tomaremos dos $1$ hasta que quede solo uno de ellos en el pizarrón. Finalmente, tomaremos el $100$ y el $1$ restante, y escribiremos el $100$.

De esta manera, mostramos que $100$ es el máximo valor posible del último número en el pizarrón.