Se tiene un número entero positivo $M$ expresado como la multiplicación de sus factores primos. A cada uno de esos factores primos se le suma $1$, y llamamos $N$ al resultado de la multiplicación de los nuevos factores. Repetimos el procedimiento, es decir, expresamos a $N$ como multiplicación de sus factores primos y le sumamos $1$ a cada factor primo. Llamamos $P$ al resultado de la multiplicación de los nuevos factores. Demostrar que si $N$ es un múltiplo de $M$ entonces $P$ es múltiplo de $N$.
Aclaración: Por ejemplo, si $M=5\cdot 7^2=245$ entonces $N=(5+1)\cdot (7+1)^2=6\cdot 8^{2}=384=2^7\cdot 3$ y $P=(2+1)^7\cdot (3+1)=8748$.
Sea $X=p_1p_2\cdots p_k$, donde $p_1\leq p_2\leq \cdots \leq p_k$ son primos, y sea $Y=(p_1+1)(p_2+1)\cdots (p_k+1)$. Veamos qué sucede si $X$ divide a $Y$.
Notemos que no puede suceder que $p_1=p_k$, de lo contrario $p_1=p_2=\cdots =p_k=p$ y $p^k\mid (p+1)^k$, lo cual es absurdo. Por lo tanto, no todos los primos $p_1$, $p_2$, ... , $p_k$ son iguales, lo que significa que $X$ tiene al menos dos factores primos distintos.
Como $X\mid Y$, entonces $p_k\mid (p_i+1)$ para algún $i$, luego, tenemos que
$$p_k\leq p_i+1\leq p_k+1 \quad\Rightarrow\quad p_i\in\left\{p_k, p_k+1\right\},$$
pero como $p_k$ y $p_i$ son coprimos (porque $p_k\mid p_i+1$), entonces $p_i+1=p_k$ y esto solamente puede suceder si $p_k=3$ y $p_i=2$. Este argumento y el segundo párrafo, demuestran que los factores primos de $X$ son únicamente $2$ y $3$ . Por lo tanto, $X=2^m\cdot 3^n$ y $Y=3^m\cdot 4^n$, luego, como $X\mid Y$, entonces $n\leq m\leq 2n$. Además, esta condición también es suficiente para que $X$ divida a $Y$.
Usando este resultado, podemos deducir que $M=2^c\cdot 3^d$, donde $d\leq c\leq 2d$. Sabiendo esto, tenemos que
$$N=3^c\cdot 4^d=2^{2d}\cdot 3^c \quad\text{y}\quad P=3^{2d}\cdot 4^c=2^{2c}\cdot 3^{2d},$$
donde se puede observar que $P$ es múltiplo de $N$, debido a que $d\leq c\leq 2d$.
Sean $M=\displaystyle \prod _{i=1}^kp_i^{\alpha _i}$ la factorización en primos de $M$ (donde los primos están ordenados de menor a mayor) y, entonces, $N=\displaystyle \prod _{i=1}^k(p_i+1)^{\alpha _i}$.
Dado que $p_k\mid M\mid N$, tenemos que $p_k$ divide a algún factor $p_i+1$ de $N$ pues $p_k$ es primo. Supongamos sin pérdida de la generalidad que $p_l$ cumple eso, donde $1\leq l\leq k$. Es claro que $l\neq k$ ya que $p_k$ y $p_k+1$ son coprimos. Entonces $l<k$ y así $p_l<p_k$. Además por la condición de divisibilidad tenemos $p_k\leq p_l+1$ ya que ambos son positivos. Se sigue que $p_l<p_k\leq p_l+1$, con lo que $p_k=p_l+1$ al ser $p_k$ entero. Dado que ambos son consecutivos, alguno es par, de modo que alguno es $2$. Es claro que $p_k\geq 3$ pues en otro caso resultaría $1\geq p_l$, absurdo. Entonces $p_l=2$ y así $p_k=3$. Esto implica que $M=2^{\alpha _1}\cdot 3^{\alpha _2}$ y así $N=3^{\alpha _1} \cdot 4^{\alpha _2}=2^{2\alpha _2}\cdot 3^{\alpha _1}$. Notemos que $2\alpha _2\geq \alpha _1$ y $\alpha _1\geq \alpha _2$ al ser $M\mid N$.
Finalmente, tenemos que $P=3^{2\alpha _2}\cdot 4^{\alpha_1}=2^{2\alpha _1}\cdot 3^{2\alpha _2}$, y dado que $\nu _2(P)=2\alpha _1\geq 2\alpha _2=\nu _2(N)$ y que $\nu _3(P)=2\alpha _2\geq \alpha _1=\nu _3(N)$ resulta que $N\mid P$.
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