Zonal 2025 Nivel 3 Problema 2

[agleidhold]

En el pizarrón está la lista de todos los números capicúas de cinco cifras, ordenada de menor a mayor; el primer número es $10001$ y el último es $99999$. Calcular la cantidad de números escritos en el pizarrón, determinar cuál es el número que se encuentra en la posición $434$ y hallar en qué posición se encuentra el número $79597$.

Aclaración: Un número es capicúa si se lee igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha. Por ejemplo: $56665$ y $30903$.

[Ignacio Torviso]

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Notemos que el número capicúa tiene el formato de $abcba$, para lo cual $a$ tiene 9 posibles valores y $b$ y $c$ tienen 10 cada uno. Por lo que la cantidad de posibilidades es igual a:
$$9 \times 10 \times 10 = 900.$$

Vale la pena destacar que la posición del número capicúa en la lista sería igual a los primeros tres dígitos del número más 1, es decir:

$$
Pos = abc + 1 = 100a + 10b + c + 1
$$

de no ser porque los 100 números capicúas comenzando en 0 no son válidos, puesto que no serían números de 5 cifras. Entonces, le restamos 100 a nuestra fórmula, con lo que nos queda que la posición de un número es:

$$
100a + 10b + c - 99.
$$

A partir de esto, podemos resolver las dos consignas faltantes:

\begin{align*}
434 &= 100a + 10b + c - 99 \\
533 &= 100a + 10b + c \\
\Rightarrow a &= 5,\quad b = 3,\quad c = 3 \\
\Rightarrow n &= 53335
\end{align*}

Para el número $79597$, tenemos que:

\begin{align*}
a &= 7,\quad b = 9,\quad c = 5 \\
\text{Pos} &= 7 \cdot 10^2 + 9 \cdot 10 + 5 - 99 \\
\text{Pos} &= 696
\end{align*}