Problema 4 Nacional Brasil 2012

[Matías V5]

Decidir si existen enteros positivos [math]n,a_1,a_2,...,a_{2012}, todos mayores o iguales que [math]2, tales que [math]n^2 = a_1^2 + a_2^3 + a_3^5 + ... + a_i^{p_i} + ... + a_{2012}^{p_{2012}}, donde [math]p_i es el [math]i-ésimo primo (o sea, [math]p_1 = 2, [math]p_2 = 3, [math]p_3=5, ...).

[Matías V5]

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Elegimos [math]a_2,a_3,...,a_{2012} de la manera que más nos guste con la única condición de que [math]a_2^3 + a_3^5 + ... + a_{2012}^{p_{2012}} sea impar (para esto es condición necesaria y suficiente que entre los números elegidos haya una cantidad impar de números impares). Si llamamos [math]2M+1 a esta suma, tomando [math]a_1 = M, [math]n = M+1 se cumple la condición del enunciado.