Regional 2015 N3 P1

[Nacho]

Hallar todas las soluciones enteras de la ecuación$$\left (m^2+n\right )\left (m+n^2\right )=(m+n)^3.$$

[g05th]

Yo lo que hice fue desarrollarla toda e ir simplificando, al final me quedo (mn+1)/3=m+n y de ahi dije como por arte de magia que m y n podian ser 5 y 7 por ejemplo. no supe como seguirlo

[JPablo]

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Si [math]m=0 ó [math]n=0 la igualdad se cumple. Sea pues [math]mn\neq 0. Desarrollando obtenemos la expresión [math]m^2n^2+mn=3m^2n+3nm^2. Como [math]mn no es cero, entonces [math]mn+1=3m+3n, o lo que es lo mismo, [math]n\left ( m-3 \right )=3m-1, por lo tanto [math]m-3\mid 3m-1. Como además [math]m-3\mid m-3 entonces [math]m-3\mid 3m-1-3\left ( m-3 \right )=8, de ahí obtenemos los posibles valores de [math]m-3

Como [math]m-3\mid 8 entonces [math]m-3 puede valer [math]8,-8,4,-4,2,-2,1,-1, o sea que [math]m puede valer [math]11,-5,7,-1,5,1,4,2. Reemplazando y viendo para cuáles de estos valores [math]n resulta entero, obtenemos las soluciones [math]\left (m,n\right ) que son:

[math](11,4),(-5,2),(7,5),(-1,1),(5,7),(1,-1),(4,11),(2,-5)

Y, por supuesto, [math](0,k) y [math](k,0) cualquiera sea el entero [math]k.

[Hechicero]

Me falto ver que [math]mn puede ser cero. Como pueden llegar a contar el problema?

[Gregorio]

Me falto ver que [math]mn puede ser cero. Como pueden llegar a contar el problema?

Estoy igual que vos, seguro va a ser 1-

[Hechicero]

Ojala! Jajaja

[Matías V5]

Esto puede parecer mágico pero créanme que ya vi el mismo truco en muchos problemas.

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Una vez que llegan a [math]mn + 1 = 3m + 3n, pasamos todo para la izquierda, queda [math]mn - 3m - 3n + 1 = 0. Sumo [math]8 de los dos lados y queda [math]mn - 3m - 3n + 9 = 8. Ahora la gracia es que lo que está del lado izquierdo se puede factorizar como [math](m-3)(n-3). Entonces [math]m-3 puede ser cualquier divisor de [math]8. De ahí salen los valores posibles para [math]m, y se despejan los correspondientes valores de [math]n.

[Hechicero]

Mati! Yo hice eso...
Típico del zonal 2013 nivel 2 problema 1, creo.

Pero en un lado cancele mal, al pasar por alto que trabajaba en enteros.

[Keo]

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Si [math]m=0 ó [math]n=0 la igualdad se cumple. Sea pues [math]mn\neq 0. Desarrollando obtenemos la expresión [math]m^2n^2+mn=3m^2n+3nm^2. Como [math]mn no es cero, entonces [math]mn+1=3m+3n, o lo que es lo mismo, [math]n\left ( m-3 \right )=3m-1, por lo tanto [math]m-3\mid 3m-1. Como además [math]m-3\mid m-3 entonces [math]m-3\mid 3m-1-3\left ( m-3 \right )=8, de ahí obtenemos los posibles valores de [math]m-3

Como [math]m-3\mid 8 entonces [math]m-3 puede valer [math]8,-8,4,-4,2,-2,1,-1, o sea que [math]m puede valer [math]11,-5,7,-1,5,1,4,2. Reemplazando y viendo para cuáles de estos valores [math]n resulta entero, obtenemos las soluciones [math]\left (m,n\right ) que son:

[math](11,4),(-5,2),(7,5),(-1,1),(5,7),(1,-1),(4,11),(2,-5)

Y, por supuesto, [math](0,k) y [math](k,0) cualquiera sea el entero [math]k.

Yo desarrollé las cuentas de la misma forma, pero me comí el "+1" (será la costumbre de simplificar multiplicando por otra cosa)
Entonces los resultados que me daba la simplificación no funcionaban en la ecuación real.

[3,14]

Esto puede parecer mágico pero créanme que ya vi el mismo truco en muchos problemas.

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Una vez que llegan a [math]mn + 1 = 3m + 3n, pasamos todo para la izquierda, queda [math]mn - 3m - 3n + 1 = 0. Sumo [math]8 de los dos lados y queda [math]mn - 3m - 3n + 9 = 8. Ahora la gracia es que lo que está del lado izquierdo se puede factorizar como [math](m-3)(n-3). Entonces [math]m-3 puede ser cualquier divisor de [math]8. De ahí salen los valores posibles para [math]m, y se despejan los correspondientes valores de [math]n.

Hice eso exactamente.