P5 - Olimpiada Matemática Centro América y el Caribe 2016

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Emerson Soriano

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P5 - Olimpiada Matemática Centro América y el Caribe 2016

Mensaje sin leer por Emerson Soriano »

Digamos que un número es irie si se puede expresar como [math], para algún entero positivo [math]. Demuestre que cualquier entero positivo [math] se puede expresar como el producto de [math] números iries diferentes, para cualquier entero [math].
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jujumas

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Re: P5 - Olimpiada Matemática Centro América y el Caribe 201

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Hint:
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Inducción
jujumas

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Re: P5 - Olimpiada Matemática Centro América y el Caribe 201

Mensaje sin leer por jujumas »

Solución:
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Es claro que un irie se puede expresar como [math]. Vamos a usar inducción en [math]. Si [math], tomamos [math] y el mayor [math] entre los factores es [math]. Supongamos ahora que [math] se puede expresar como el producto de [math] iries distintos y el mayor [math] es [math]. Luego, tomando el resultado y [math], tenemos que [math], con lo que [math] se puede expresar como el producto de [math] iries, y como el mayor [math] de los iries en el producto que da [math] era [math], todos los iries siguen siendo distintos. Luego, todo [math] se puede expresar como el producto de [math] iries distintos.


Ahora vamos a usar inducción en [math] para todo [math]. El caso base [math] ya está probado. Supongamos que [math] se puede expresar como el producto de [math] iries distintos. Tomemos ahora el irie con mayor valor [math], digamos [math]. Luego, podemos escribirlo como [math]. Notemos además que los valores de [math] usados son mayores a [math], estos iries son distintos a los anteriores en la lista, por lo que podemos expresar a [math] como el producto de [math] iries, completando así la solución del problema.
Última edición por jujumas el Mar 21 Jun, 2016 7:26 pm, editado 1 vez en total.
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Violeta

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Re: P5 - Olimpiada Matemática Centro América y el Caribe 201

Mensaje sin leer por Violeta »

Pero acaso los iries no eran de la forma k/k+1, ¿por qué usas j+1/1?

La solución no cambia, solo se usaría el recíproco de las fracciones, pero pregunto porque me dio curiosidad.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.
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Re: P5 - Olimpiada Matemática Centro América y el Caribe 201

Mensaje sin leer por jujumas »

Violeta escribió:Pero acaso los iries no eran de la forma k/k+1, ¿por qué usas j+1/1?

La solución no cambia, solo se usaría el recíproco de las fracciones, pero pregunto porque me dio curiosidad.
Fue un error de tipeo, ya esta arreglado.
cesarandres
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Re: P5 - Olimpiada Matemática Centro América y el Caribe 201

Mensaje sin leer por cesarandres »

Tenemos que los números irie son de la forma (k+1)/k, Sea 0 menor que k menor o igual que r tal que
n=((k+1)/k)((k+2)/(k+1))*...*((k+r)/(k+r-1)), esto es similar a una suma telescópica en la que la multiplicación se "cancela" con la división, n=(k+r)/k= 1+r/k y n es entero sí y sólo sí r es divisible por k, tenemos que r=(n-1)k, que es mínimo cuando k es 1, tenemos que todo número n entero puede ser expresado como el producto de r números iries tal que r es mayor o igual a (n-1), falta demostrar que los números irie son distintos. Notemos que cada número irie al ser de la forma (k+1)/k, es una fracción irreductible, como cada número irie es irreductible cada número irie es distinto de cualquier otro número irie, para demostrarlo supongamos que existen dos números irie "equivalentes", tendríamos que algún irie es igual a x(k+1)/(xk), lo cual es una contradicción a no ser que x sea 1, y por lo tanto estaríamos hablando del mismo número irie.
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Fran5

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Re: P5 - Olimpiada Matemática Centro América y el Caribe 201

Mensaje sin leer por Fran5 »

Que pasa si [math] no es multiplo de [math]? Falta ese caso
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cesarandres
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Re: P5 - Olimpiada Matemática Centro América y el Caribe 201

Mensaje sin leer por cesarandres »

De la manera en que lo hice, r se despeja de la ecuación y queda que r=(n-1)k. Noten que yo demostre que todo entero n mayor a 2 puede ser expresado como un producto de r números irie distintos, tal que r es mayor o igual a n-1, (inclusive puede tender a infinito), lo que no demostre, por que no lo pedía era que todo entero n no pudiera ser expresado como un producto de a lo más n-2 números irie distintos.
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Fran5

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Re: P5 - Olimpiada Matemática Centro América y el Caribe 201

Mensaje sin leer por Fran5 »

El problema es que en el problema el [math] ya esta dado. Si despejaras, tendrias que tener [math] en funcion de [math]

Que sucede si [math] por ejemplo?. Cuales serian tus [math] nymeros irie?
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cesarandres
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Re: P5 - Olimpiada Matemática Centro América y el Caribe 201

Mensaje sin leer por cesarandres »

ya vi el error....muchas gracias....básicamente lo que me falta es que cualquier número irie puede ser expresado como la múltiplicación de dos números irie distintos que como ya sabemos son distintos. Tendriamos un irie que llamaremos (k+1)/k, y otros dos iries que llamaremos (j+1)/j e (i+1)/i, supondremos que (j+1)(i+1)/(j*i)=(k+1)/k, como j+1 y j, e i+1 e i son primos relativos, supongamos de que i=j+1, tendríamos de que j+2/j es igual a k+1/k, es evidente entonces que j=2k, notemos que para expresar al k-ésimo número irie como un producto de dos iries distintos se hace uso del 2k-ésimo y 2k+1-ésimo número irie, por lo que ningún número irie distinto al k-ésimo con está configuración especial, podría ser expresado con algun de los otros dos números iries. Ya demostramos que todo entero n mayor o igual a 2, puede ser expresado como r números iries distintos con r=n-1, y como todo número irie puedo expresarlo como el producto de dos iries distintos y únicos para el original, entonces se concluye que se puede con cualquier entero r mayor o igual a n-1
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