Perú 2016 - Nivel 2 (2da Fase)

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Emerson Soriano

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Perú 2016 - Nivel 2 (2da Fase)

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Mar 13 Sep, 2016 2:42 am

Sean [math], [math], [math] y [math] números enteros positivos tales que [math] y además
[math]
Hallar el menor valor posible de [math].

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enigma1234

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Re: Perú 2016 - Nivel 2 (2da Fase)

Mensaje sin leer por enigma1234 » Dom 11 Feb, 2018 12:04 am

Spoiler: mostrar
Es claro que cada uno de los sumandos es divisor de $a$ pero como $a>b>c>d$ estos sumandos deben ser menores de $a$ entonces cada sumando es máximo $\frac{a}{2}$ ahora veamos que pasa si $mcd(a,x)= \frac{a}{2}$ para algun $x<a$.
De eso es claro que de esto tenemos que $\frac{a}{2}$ divide a $x$ y como $x$ es menor que $a$ entonces necesariamente $x= \frac{a}{2}$.
De esto y como $b>c>d$ entonces en particular son diferentes y si hay 2 sumandos iguales a $\frac{a}{2}$ habrian 2 iguales a $\frac{a}{2}$ entre $b,c,d$,lo que seria una contradicción.
Entonces máximo un sumando es $\frac{a}{2}$ y los demas sumandos serian como maximo $\frac{a}{3}$ entonces:
$\text{mcd}(a, b)+\text{mcd}(a, c)+\text{mcd}(a, d)=105\leq \frac{a}{3}+\frac{a}{3}+\frac{a}{2}=\frac{7a}{6}\to 90\leq a$
Y la igualdad se da cuando $a=90,b=60,c=45,d=30$
One in a millon...my lucky strike! :D

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enigma1234

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Re: Perú 2016 - Nivel 2 (2da Fase)

Mensaje sin leer por enigma1234 » Dom 11 Feb, 2018 12:04 am

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