Iberoamericana 2016 P1

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Matías V5

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Iberoamericana 2016 P1

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mar 27 Sep, 2016 3:02 pm

Determine todos los números primos positivos [math] tales que [math].
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Emerson Soriano

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Re: Iberoamericana 2016 P1

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Mar 27 Sep, 2016 4:52 pm

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Primero analicemos cuando entre los primos [math], [math], [math] hay al menos dos que son iguales. En efecto,

Si [math], entonces [math], lo cual es absurdo, pues [math] no es múltiplo de [math].

Si entre los primos [math], [math] y [math] hay exactamente dos iguales, digamos [math], entonces [math]. Claramente [math] no puede ser igual a [math] o [math], pues entonces [math] también sería múltiplo de [math] o [math], respectivamente. Por lo tanto, [math]. Luego, [math] y por ende [math], así [math] es múltiplo de [math], pero como [math], entonces [math]. Luego, [math], esto es [math], pero ningún cuadrado es de la forma [math], ya que sería par pero no múltiplo de [math]. Por lo tanto, este caso no presenta soluciones.

Con estos dos argumentos se ha probado que los tres primos [math], [math] y [math] deben ser distintos dos a dos. Ahora, supongamos sin pérdida de generalidad que [math]. Si [math], entonces [math]. Por lo tanto, [math]. Si [math], entonces [math], es decir, [math]. Quiere decir que [math] y [math] no son congruentes con [math], sino con [math]. Pero al reemplazar, tendríamos que [math], lo cual es absurdo. Si [math], entonces [math], de donde [math], esto obliga a que [math] y [math] no sean congruentes con [math] en el módulo [math], sino con [math], pero entonces [math], que también es un absurdo.

Por lo tanto, [math] o [math].

Si [math], entonces [math], es decir, [math], lo cual es absurdo, pues [math] es múltiplo de [math].

Si [math], entonces [math], es decir, [math]. Si [math], entonces [math] y [math] son congruentes con [math] o [math] en el módulo [math], pero entonces los posibles restos de [math] en el módulo [math] son [math], [math] o [math], y ninguno de ellos es igual a [math] tal como se desea. Por lo tanto, [math]. Reemplazando se obtiene fácilmente que [math] y [math].

Finalmente, se concluye que hay una sola cuaterna de primos [math] que es [math].

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Matías V5

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Re: Iberoamericana 2016 P1

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mar 27 Sep, 2016 8:54 pm

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Supongamos que [math] son impares. Entonces, como [math] (vale para cualquier impar), resulta que [math]. Llamando [math], [math], tenemos que el lado izquierdo de la igualdad es congruente módulo [math] con [math]. Como [math] e [math] son impares, [math] e [math] son pares y luego su producto es divisible por [math]. Así que el lado izquierdo es congruente a [math] módulo [math], y por lo tanto no puede ser igual a [math]. Con esto vemos que al menos uno de los números [math] es igual a [math].
De forma similar, supongamos ahora que [math] son distintos de [math], entonces [math] (vale para cualquier número no divisible por [math]) y como antes llegamos a que el lado izquierdo es congruente módulo [math] con [math]. Como esto tiene que ser igual a [math], debe ocurrir que [math], lo cual sólo puede pasar si los factores son [math] y [math] módulo [math], pero ningún factor puede ser [math] porque eso implicaría que [math] o [math] es un múltiplo de [math]. Luego al menos uno de los números [math] es igual a [math].
Sin pérdida de generalidad supongamos [math], [math], ahora la ecuación es [math], es decir [math], de donde [math] y como [math] es primo sólo puede ser [math]. Finalmente [math]. Luego las únicas soluciones son [math] y las otras cinco que se obtienen permutando [math]. [math]
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Violeta

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Re: Iberoamericana 2016 P1

Mensaje sin leer por Violeta » Mié 28 Sep, 2016 12:01 am

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Probaremos [math], sin perdida de generalidad.

Mirando mod 4, se tiene que:

[math]

Asumamos que todos son impares, entonces, (p,q,r) toma uno de los siguientes valores (mod 4):

Caso [math]:

[math]

Caso [math]:

[math]

Caso [math]:

[math]

Caso [math]:

[math]

Por ende, uno de los tres es par y [math].

Entonces, [math]
-----------------------------------------------------------------------------------
Mirando mod 3, se tiene que:

[math]

Si ni p ni q son tres, entonces (p,q) mod 3 toma uno de los siguientes valores:

Caso [math]:

[math]

Caso [math]:

[math]

Caso [math]:

[math]

Por ende, [math].

Simplificando:

[math]

[math]

[math]

Entonces, [math], por lo que [math] y como [math] es primo, [math] y [math].

Entonces, las unicas cuaternas que cumplen son (p,q,r) = cyc([math]) y [math]
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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