Iberoamericana 2016 P6

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ésta

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Iberoamericana 2016 P6

Mensaje sin leer por ésta » Mié 28 Sep, 2016 5:29 pm

Sea [math] un entero positivo y [math] dígitos. Pruebe que existe un entero positivo [math] tal que los últimos [math] dígitos de [math] son, en este orden, [math], para ciertos dígitos [math].
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Emerson Soriano

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Re: Iberoamericana 2016 P6

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Mié 28 Sep, 2016 10:36 pm

Spoiler: mostrar
El caso [math] es trivial, sólo debemos encontrar [math] ejemplos y listo. Asumiremos que [math].

Sean [math], [math], ... , [math] dígitos arbitrarios. Para que el numeral siguiente:
[math]

sea una potencia de [math], entonces se debe cumplir que
[math]

es una potencia de [math]. Pero entonces [math] es divisible por [math], o sea, [math] para algún entero positivo [math]. Reemplazando y reduciendo queda que el siguiente número
[math]

también debe ser una potencia de [math], es decir, [math] para algún entero positivo [math]. Nuevamente reemplazando y reduciendo, tenemos que [math] es una potencia de [math].

Hasta ahora, sólo se ha desglosado para poder tener las cosas claras. Ahora, vamos a ver bajo qué parámetros esto puede ser posible. En efecto, como [math] tiene a lo sumo [math] dígitos, entonces [math] y por ende [math], lo cual implica que [math]. Como [math] tiene a lo sumo [math] dígitos, entonces [math]. Pero vamos a considerar que tiene exactamente [math] dígitos, pues de lo contrario más adelante se notará que se hace más fácil, pues los invervalos serán de mayor longitud y podremos encontrar en ellos lo que buscamos más fácilmente. Entonces, [math]. Ahora, según lo que ya tenemos, se puede deducir que
[math]

Es decir,
[math]

La idea escencial es encontrar en el intervalo [math] un número de la forma [math]. Esto resuelve el problema, pues hacemos [math] y [math], y logramos el objetivo.

Ahora, sea [math] el mayor entero tal que [math], es decir, [math]. Sea [math] tal que [math], entonces
[math]

Es claro que [math], por lo tanto [math].

Probaremos que [math]. En efecto, notemos que
[math]

Pero,
[math]

Y esto es cierto, pues si [math], entonces en el intervalo
[math]

habría una potencia de [math], lo cual es absurdo, pues contradice la maximalidad de [math]. Luego, como [math] y [math], se concluye que [math] se encuentra en el intervalo [math], que es a donde queríamos llegar.

Observación. Es fácil probar que si [math] es un entero, entonces entre [math] y [math], inclusive, existe una potencia de [math].

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Prillo

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Re: Iberoamericana 2016 P6

Mensaje sin leer por Prillo » Mié 28 Sep, 2016 11:43 pm

Spoiler: mostrar
Sea [math] el resto de [math] en la division por [math]. Consideremos
[math] y [math], que puedo porque [math]. Para estas dos elecciones de los [math] se cumple que [math] es multiplo de [math], o sea [math] para [math]. Ademas, para alguna de estas dos elecciones de los [math] se cumple que [math] no es multiplo de [math]. Pero [math] es raiz primitiva modulo potencias de [math], asi que para esa eleccion de los [math] existe un [math] tal que [math]. Luego [math], y listo.

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Emerson Soriano

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Re: Iberoamericana 2016 P6

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Jue 29 Sep, 2016 1:00 am

Me siento humillado jejee

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Prillo

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Re: Iberoamericana 2016 P6

Mensaje sin leer por Prillo » Jue 29 Sep, 2016 9:30 am

No te preocupes, el que deberia sentirse humillado es el problema.

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Vladislao

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Re: Iberoamericana 2016 P6

Mensaje sin leer por Vladislao » Jue 29 Sep, 2016 6:47 pm

Qué raro que este problema haya estado en la prueba, y encima como problema 6. Lo digo en función de que hay varios otros problemas muy parecidos a este en enunciado, que salen exactamente con la idea de Prillo (que [math] es raíz primitiva módulo [math] para todo [math]).
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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