Decimos que un número natural $N$ es fantástico si la suma de los dígitos de $N$ es un número primo y la suma de los dígitos del número $(N+1)$ también es un número primo. ¿Cuantos números fantásticos menores que $2016$ hay?
N=PRIMO
N+1=PRIMO
PARA QUE ESTO SE CUMPLA UNO SERÁ PAR Y EL OTRO IMPAR
ADEMÁS CONSECUTIVOS
SI "N + 1" ES PAR SERIA : 2
Y "N" ,1 PERO NO ES POSIBLE
POR LO TANTO "N" ES PAR OSEA : 2
Y "N+1" ,3
POR LO TANTO HAY UN NÚMERO FANTASTICO , 1
FARID escribió:N=PRIMO
N+1=PRIMO
PARA QUE ESTO SE CUMPLA UNO SERÁ PAR Y EL OTRO IMPAR
ADEMÁS CONSECUTIVOS
SI "N + 1" ES PAR SERIA : 2
Y "N" ,1 PERO NO ES POSIBLE
POR LO TANTO "N" ES PAR OSEA : 2
Y "N+1" ,3
POR LO TANTO HAY UN NÚMERO FANTASTICO , 1
No es que [math]N y [math]N+1 deben ser primos, sino que la suma de los digitos de [math]N debe ser primo y la suma de los digitos de [math]N+1 tambien. Por ejemplo [math]N=11 funciona. [math]1+1=2 [math]1+2=3
Para todo [math]k, existen [math]k primos en sucesión aritmética.
Otro ejemplo sería el [math]29. [math]2+9=11 [math]3+0=3
Como para darse cuenta que tenés que mirar los casos particulares de los números que terminan en [math]9
Bien, cuando sumamos $1$, la suma de dígitos puede cambiar de diferentes maneras
$1\rightarrow2$ $(+1)$
$19\rightarrow20$ $(-8)$
$199\rightarrow200$ $(-17)$
$1999\rightarrow2000$ $(-26)$
El caso de que cambie por una cantidad impar de unidades, hace que un numero sea impar y el otro no, si el numero fuese fantástico, uno de estos dos números debe ser $2$, esos sumas de dígitos pueden ser $1\rightarrow2$, $2\rightarrow3$ ó $19\rightarrow2$. De ahí no es tan difícil ver las posibilidades:
$1\rightarrow3$ $|$ $1, 2$
$10\rightarrow21$ $|$ $1, 2$
$100\rightarrow201$ $|$ $1, 2$
$1000\rightarrow2001$ $|$ $1, 2$ (Son $1$ y $0$ metidos adelante)
$2\rightarrow3$ $|$ $2, 3$
$20\rightarrow21$ $|$ $2, 3$
$200\rightarrow201$ $|$ $2, 3$
$2000\rightarrow2001$ $|$ $2, 3$
$11\rightarrow12$ $|$ $2, 3$
$101\rightarrow102$ $|$ $2, 3$
$110\rightarrow111$ $|$ $2, 3$
$1001\rightarrow1002$ $|$ $2, 3$
$1010\rightarrow1011$ $|$ $2, 3$
$1100\rightarrow1101$ $|$ $2, 3$ (Pensemos que el $2$ se puede formar con $2$ y $0$ metidos adelante y $1$, $1$ y $0$ entre medio)
$199\rightarrow200$ $|$ $19, 2$
$1099\rightarrow1100$ $|$ $19, 2$ (Si hay dos $9$, el resto debe sumar $1$, son $1$ con $0$ adelante y los últimos dos $9$)
Ahora debemos calcular el caso en el que cambia por una cantidad par, para ver cuales pueden ser las sumas de dígitos usamos que la mayor suma de digitos es $28$ $(1999)$. Las posibles sumas son $11\rightarrow3$, $13\rightarrow5$, $19\rightarrow11$. De ahí sacamos las posibilidades:
$29\rightarrow30$ $|$ $11, 3$
$209\rightarrow210$ $|$ $11, 3$
$2009\rightarrow2010$ $|$ $11, 3$
$119\rightarrow120$ $|$ $11, 3$
$1019\rightarrow1020$ $|$ $11, 3$
$1109\rightarrow1110$ $|$ $11, 3$ (Como hay un $9$, el resto suma $2$, son las posibilidades de formar $2$ excluyendo algunas para que no se pase de $2016$)
$49\rightarrow50$ $|$ $13, 5$
$409\rightarrow410$ $|$ $13, 5$
$139\rightarrow140$ $|$ $13, 5$
$1039\rightarrow1040$ $|$ $13, 5$
$1309\rightarrow1310$ $|$ $13, 5$
$319\rightarrow320$ $|$ $13, 5$
$229\rightarrow230$ $|$ $13, 5$
$1129\rightarrow1130$ $|$ $13, 5$
$1219\rightarrow1220$ $|$ $13, 5$ (Como hay un $9$, el resto suma $4$ donde se puede usar $4$, $3$ y $1$, $2$ y $2$, y $1$, $1$ y $2$, todo con $0$ intercalados)
$1909\rightarrow1910$ $|$ $19, 11$
$919\rightarrow920$ $|$ $19, 11$
$289\rightarrow290$ $|$ $19, 11$
$829\rightarrow830$ $|$ $19, 11$
$379\rightarrow290$ $|$ $19, 11$
$739\rightarrow830$ $|$ $19, 11$
$469\rightarrow290$ $|$ $19, 11$
$649\rightarrow830$ $|$ $19, 11$
$559\rightarrow290$ $|$ $19, 11$ (Como hay un $9$, el resto suma $10$ donde se puede usar $9$, $1$ y $8$, $2$ y $3$, y $7$... Y algunos con $0$ en el medio)
