Uno que se me ocurrio

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Dauphineg

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Uno que se me ocurrio

Mensaje sin leer por Dauphineg » Dom 05 Mar, 2017 7:56 pm

Hallar todos los números de 4 cifras [math] que son iguales al cuadrado de la suma de los números de 2 cifras [math] y [math]

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Vladislao

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Re: Uno que se me ocurrio

Mensaje sin leer por Vladislao » Dom 05 Mar, 2017 9:08 pm

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Una forma segura de resolver este tipo de problemas es inspeccionar casos a mano, dado que no son tantos. No obstante, para no perder tanto tiempo, se puede hacer algún análisis para ahorrarse algunos de esos casos.

En este caso, el problema equivale a hallar [math] enteros de modo que [math] y [math] y tales que:
[math]

De modo que, si damos un valor para [math] (hay [math] posibles valores), nos queda una ecuación cuadrática que se puede despejar para obtener un valor de [math], y en caso de que este valor esté en el rango deseado, se concluye.

Para probar menos, notemos que la ecuación anterior, vía hacer algunos cálculos, se puede transformar en:
[math]

Que, si la pensamos como una ecuación cuadrática en [math], para que haya solución (que es lo que queremos), debe pasar que su discriminante sea un cuadrado perfecto.
Es decir [math] para algún [math] entero. Haciendo algunos cálculos, esto es lo mismo que decir que [math]. En particular, debe suceder que [math], lo cual dice que [math].
O sea, ahora basta "probar" [math] casos. No obstante, notemos que para que [math] sea un cuadrado perfecto es necesario que [math] también lo sea. De modo que [math] debe dejar resto [math] ó [math] en la división por [math]. En este caso, esto es lo mismo que decir que [math] deja resto [math] ó [math] en la división por [math].

Luego, resta comprobar los [math] valores [math]. Se puede ver que para [math] se obtienen las soluciones [math] y [math], y para [math] se obtiene la solución [math]. De este modo, las únicas soluciones para el problema original son los números [math], [math] y [math].
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Dauphineg

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Re: Uno que se me ocurrio

Mensaje sin leer por Dauphineg » Dom 05 Mar, 2017 10:47 pm

Lo pensé exactamente igual que Vladislao hasta que llega a la idea [math].
Luego [math] esta entre 5 y 38. Como [math] se deduce que [math] o [math] deberían ser múltiplos de 11 y de 9 en algún orden ya que uno es múltiplo de 11 seguro y ambos no pueden ser múltiplos de 3 porque en ese caso seria 100 (que es la suma de ellos) también múltiplo de 3 y no lo es, ademas uno de ellos no puede ser múltiplo de 99 porque [math] esta entre 5 y 38. Suponiendo a [math] múltiplo de 11 y viendo los múltiplos de 11 entre 55 y 88 que no son múltiplos de 3, los cuales son 55,77 y 88 y por consecuencia los posibles valores de [math] serian respectivamente 45,23 y 12, pero solo 45 es múltiplo de 9. Luego con [math] obtenemos [math] y de aquí [math] o [math]
Suponiendo a [math] múltiplo de 11 y viendo los múltiplos de 11 entre 12 y 45 que no son múltiplos de 3, los cuales son 22 y 44 y por consecuencia los posibles valores de [math] serian respectivamente 78 y 56 pero ninguno de ellos es múltiplo de 9
Los únicos números que verifican son 2025 y 3025
Aclaración: Descarto al 9801 únicamente porque en el enunciado dice que los números eran de 2 dígitos y 01 no lo es

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