Uno que se me ocurrio

Uno que se me ocurrio

UNREAD_POSTpor Dauphineg » Dom 05 Mar, 2017 7:56 pm

Hallar todos los números de 4 cifras $ABCD$ que son iguales al cuadrado de la suma de los números de 2 cifras $AB$ y $CD$
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Re: Uno que se me ocurrio

UNREAD_POSTpor Vladislao » Dom 05 Mar, 2017 9:08 pm

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Una forma segura de resolver este tipo de problemas es inspeccionar casos a mano, dado que no son tantos. No obstante, para no perder tanto tiempo, se puede hacer algún análisis para ahorrarse algunos de esos casos.

En este caso, el problema equivale a hallar $x,y$ enteros de modo que $10\leq x\leq 99$ y $0\leq y\leq 99$ y tales que:


$$100x+y = (x+y)^2$$



De modo que, si damos un valor para $x$ (hay $90$ posibles valores), nos queda una ecuación cuadrática que se puede despejar para obtener un valor de $y$, y en caso de que este valor esté en el rango deseado, se concluye.

Para probar menos, notemos que la ecuación anterior, vía hacer algunos cálculos, se puede transformar en:


$$x^2+(2y-100)x+(y^2-y)=0$$



Que, si la pensamos como una ecuación cuadrática en $x$, para que haya solución (que es lo que queremos), debe pasar que su discriminante sea un cuadrado perfecto.
Es decir $(2y-100)^2-4\cdot(y^2-y)=k^2$ para algún $k$ entero. Haciendo algunos cálculos, esto es lo mismo que decir que $-396y+10000=k^2$. En particular, debe suceder que $-396y+10000\geq 0$, lo cual dice que $y\leq 25$.
O sea, ahora basta "probar" $25$ casos. No obstante, notemos que para que $-396y+10000$ sea un cuadrado perfecto es necesario que $-99y+2500$ también lo sea. De modo que $-99y+2500$ debe dejar resto $0$ ó $1$ en la división por $4$. En este caso, esto es lo mismo que decir que $y$ deja resto $0$ ó $1$ en la división por $4$.

Luego, resta comprobar los $13$ valores $\{1,4,5,8,9,12,13,16,17,20,21,24,25\}$. Se puede ver que para $y=25$ se obtienen las soluciones $x=20$ y $x=30$, y para $y=1$ se obtiene la solución $x=98$. De este modo, las únicas soluciones para el problema original son los números $9801$, $3025$ y $2025$.
Sea $\theta = 1,3063778838...$ Para todo entero positivo $k$ se cumple que $\left\lfloor \theta^{3^k}\right\rfloor$ es un número primo.
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Re: Uno que se me ocurrio

UNREAD_POSTpor Dauphineg » Dom 05 Mar, 2017 10:47 pm

Lo pensé exactamente igual que Vladislao hasta que llega a la idea $-99y+2500=t^2$.
Luego $t$ esta entre 5 y 38. Como $(50-t).(50+t)=9.11.y$ se deduce que $50-t$ o $50+t$ deberían ser múltiplos de 11 y de 9 en algún orden ya que uno es múltiplo de 11 seguro y ambos no pueden ser múltiplos de 3 porque en ese caso seria 100 (que es la suma de ellos) también múltiplo de 3 y no lo es, ademas uno de ellos no puede ser múltiplo de 99 porque $t$ esta entre 5 y 38. Suponiendo a $50+t$ múltiplo de 11 y viendo los múltiplos de 11 entre 55 y 88 que no son múltiplos de 3, los cuales son 55,77 y 88 y por consecuencia los posibles valores de $50-t$ serian respectivamente 45,23 y 12, pero solo 45 es múltiplo de 9. Luego con $t=5$ obtenemos $y=25$ y de aquí $x=20$ o $x=30$
Suponiendo a $50-t$ múltiplo de 11 y viendo los múltiplos de 11 entre 12 y 45 que no son múltiplos de 3, los cuales son 22 y 44 y por consecuencia los posibles valores de $50+t$ serian respectivamente 78 y 56 pero ninguno de ellos es múltiplo de 9
Los únicos números que verifican son 2025 y 3025
Aclaración: Descarto al 9801 únicamente porque en el enunciado dice que los números eran de 2 dígitos y 01 no lo es
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