Inventando

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UNREAD_POSTpor Dauphineg » Mar 07 Mar, 2017 12:37 am

Decimos que un número natural $n$ es divino si cumple simultáneamente las siguientes 3 condiciones:
1) $n$ tiene exactamente 2017 dígitos.
2) Los dígitos de $n$ no son todos iguales.
3) Cada dígito de $n$ a excepción de los últimos 2 (el de las decenas y el de las unidades) es igual al promedio de todos los dígitos que se encuentran a su derecha.
Calcular la probabilidad de que un número divino sea múltiplo de 2017
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Re: Inventando

UNREAD_POSTpor Emerson Soriano » Mié 08 Mar, 2017 1:49 am

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Sea $N=\overline{a_{2017}\cdots a_3a_2a_1}$ un número divino. La tercera condición obliga a que los $2015$ primeros dígitos de $N$ sean iguales, por lo tanto, $N$ es de la forma: $\overline{aaa\cdots aabc}$, donde hay $2015$ dígitos $a$.

Notemos que


$$N=\overline{aaa\cdots aaa0}+\overline{bc}-\overline{a0}$$



donde el primer sumando tiene $2016$ dígitos $a$ y un dígito $0$. Pero como $2017$ es primo, entonces $2017\mid 111\cdots 11$ ($2016$ veces), y, en consecuencia, se tiene que $\overline{bc}\equiv \overline{a0} \pmod {2017}$, por lo tanto, $a=b$ y $c=0$.

Observemos que la cantidad de números divinos es $9\times 10\times 10=900$ y la cantidad de números divinos múltiplos de $2017$ es $9$. Por lo tanto, la probabilidad pedida es $\frac{9}{900}=\frac{1}{100}$.
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Re: Inventando

UNREAD_POSTpor Dauphineg » Mié 08 Mar, 2017 11:07 pm

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La respuesta $0$, no hay números divinos que sean múltiplos de $2017$ porque tal como dijo Emerson Soriano los números divinos deben tener sus primeros $2015$ dígitos iguales entre si e iguales al promedio de los últimos $2$ dígitos. La cantidad de números divinos es $40$ pero para ser múltiplo de $2017$ tendría que ser que tener sus primeros $2016$ dígitos iguales y el ultimo igual a $0$ tal como concluyo también Emerson Soriano,pero en ese caso por el tema del promedio se tendría que los $2017$ dígitos deberían ser $0$ lo cual claramente es absurdo
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