Selectivo de Cono Sur 2017 P6

tuvie

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Selectivo de Cono Sur 2017 P6

Mensaje sin leer por tuvie » Vie 31 Mar, 2017 9:24 pm

Hallar todos los pares [math] con [math] primo y [math] entero positivo que satisfacen la ecuación
[math].

jujumas

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Re: Selectivo de Cono Sur 2017 P6

Mensaje sin leer por jujumas » Vie 31 Mar, 2017 10:34 pm

Solución:
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Tenemos que [math]. Supongamos que [math] es impar. Luego, [math], de donde [math], y [math] es par. Reemplazando [math] y haciendo diferencia de cuadrados, tenemos que [math].

Notemos ahora que [math] y [math] son pares consecutivos, de donde al menos uno es múltiplo de [math], y [math], de donde [math]. Como [math] es impar, tenemos entonces que [math], de donde [math] y [math]. Viendo ahora el ciclo de potencias de [math] módulo [math], tenemos que [math]. Reemplazando [math] y haciendo diferencia de cuadrados, tenemos que [math].


Notemos ahora que como [math] son pares, comparten el factor [math]. Vamos a ver, que estos números no comparten ningún otro factor.

- Para ver que [math] y [math] no comparten más factores, supongamos que [math] divide a ambos. Luego, [math], y estamos.

- Usando lo mismo con [math] y [math], tenemos que [math] y que [math], de donde [math] y [math].

- De la misma forma, llegamos a que [math] y [math] implica que [math], de donde [math].


Notemos ahora que en [math], como [math] es impar, la valuación de [math] es par, de donde [math] tiene una valuación par del factor [math]. Notemos que 4 no puede dividir a [math], ya que este número es congruente a [math] módulo [math]. Luego, tenemos que la valuación del factor [math] en [math] es impar, por lo que es par en al menos uno de los dos factores. Como el máximo común divisor de cualquiera de estos tres términos es [math], tenemos que las potencias pares de primos en [math] van a distintos factores, ya que si hubiese un primo en dos factores distintos, su máximo común divisor excedería [math]. Luego, estamos ante solo dos casos:

Caso 1: [math]

Tenemos que en al menos uno de los otros dos factores, todos sus primos están elevados a una potencia par, de donde o bien [math] o [math] es un cuadrado perfecto. En el primer caso, tenemos que [math], de donde [math]. Notemos que las únicas potencias de [math] a diferencia [math] son [math] y [math], de donde [math], [math] y esto nos termina generando la solución [math], que nos da [math]. En el segundo caso, tenemos que [math] es un cuadrado perfecto, pero como [math] es positivo, esto implica que [math] tiene resto [math] en la división por [math], por lo que no puede ser un cuadrado.


Caso 2: [math] no divide a [math]

En este caso, tenemos que el único factor que no está elevado a una potencia par en [math] es el [math], por lo que [math] es el doble de un cuadrado perfecto. Sin embargo, como [math] es positivo, tenemos que [math] tiene resto [math] en la división por [math], por lo que el cuadrado perfecto tendría resto [math] en la división por [math], por lo que no puede ser un cuadrado.


Si [math] es par, solo tenemos para ver [math], lo que nos da la solución [math]. Luego, nuestras únicas soluciones son [math], [math] y [math], [math].
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AgusBarreto

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Re: Selectivo de Cono Sur 2017 P6

Mensaje sin leer por AgusBarreto » Mar 05 Feb, 2019 6:41 pm

Bueno, aquí vamos de nuevo... spoiler quemador:
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Bajarle un grado y acotar entre cuadrados el discriminante strikes again!
2sxlj9.jpg
Es prácticamente el mismo problema que viewtopic.php?f=18&t=203

Solución:
Spoiler: mostrar
Para $p=2$ encontramos que $n=1$. Si $p\neq 2$, el problema es equivalente a

$p^3-2p^2+p=3^n-1=2\cdot (3^{n-1}+ \ldots + 1)$

Ahora como $p-1$ es par y está elevado al cuadrado, la cantidad de factores dos en el lado derecho debe ser par. Entonces $(3^{n-1}+ \ldots + 1)$ debe ser par. Como son $n$ términos impares sumados, para que esto ocurra $n$ debe ser par. Escribimos $n=2k$ y luego:

$p^3-2p^2+p+1=3^{2k}=(3^k)^2$

Ahora nos olvidamos del problema original y lo convertimos en "hallar todos los $p$ primos impares tales que $p^3-2p^2+p+1$ es un cuadrado perfecto", que es casi lo mismo que el problema mencionado anteriormente. Desafío: resolverlo de la misma forma. Si no, acá la solución:
Spoiler: mostrar
El problema equivale a ver que existe un $m$ entero tal que $p^3-2p^2+p+1=m^2$, o lo que es lo mismo

$p^3-2p^2+p=m^2-1=(m-1)(m+1)$

Caso 1: $p \mid m-1$. Entonces escribimos $m-1=pq$ con algún $q$ entero positivo, por lo tanto $m=pq+1$. Reemplazando en la ecuación nos queda

$p^3-2p^2+p=pq(pq+2)$


y como $p\neq 0$

$p^2-2p+1=q(pq+2)$


Distribuyo y paso todo de un lado y queda

$p^2-(2+q^2)p+(1-2q)=0$


Viéndolo como una cuadrática con variable $p$ el discriminante nos queda $k^4+4k+8k$. Para que tenga soluciones enteras la ecuación el discriminante debería ser un cuadrado perfecto, pero no es difícil ver que

$(k^2+3)^2>k^4+4k+8k>(k^2+2)^2$


Por lo tanto como acotamos la expresión entre dos cuadrados perfectos consecutivos, esta no puede ser un cuadrado y entonces este caso no tiene soluciones.

Caso 2: $p \mid m+1$. Entonces escribimos $m+1=pq$ con algún $q$ entero positivo, por lo tanto $m=pq-1$. Reemplazando en la ecuación nos queda

$p^3-2p^2+p=(pq-2)pq$


y como $p\neq 0$

$p^2-2p+1=(pq-2)q$


Distribuyo y paso todo de un lado y queda

$p^2-(2+q^2)p+(1+2q)=0$


Viéndolo como una cuadrática con variable $p$ el discriminante nos queda $k^4+4k-8k$. Para que tenga soluciones enteras la ecuación el discriminante debería ser un cuadrado perfecto, pero no es difícil ver que $(k^2+1)^2>k^4+4k-8k$ y además para $k>2$ tenemos $k^4+4k-8k>k^4$. Por lo tanto para $k>2$ no hay soluciones ya que

$(k^2+1)^2>k^4+4k-8k>k^4$

Ahora reemplazando $k=2$ tenemos que $p^2-2p+1=4p-4$ que equivale a $6p-p^2 = 5$, por lo tanto $p \mid 5$ y evaluando en $p=5$ vemos que arroja una solución. Reemplazando en $k=1$ y despejando llegamos a que $3p - p^2 = 3$, por lo que $p \mid 3$, pero $3\cdot 3 - 3^2=0$, absurdo.
Luego la única solución es $p=5$.
Como la única solución fue $p=5$, reemplazando en el enunciado obtenemos como solución al problema original $(p, n)=(5, 4)$. Entonces las únicas soluciones al problema original son $(5, 4)$ y $(2, 1)$.

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