Tenemos que [math]p^3-2p^2+p=3^n-1 \Leftrightarrow p(p-1)^2=3^n-1. Supongamos que [math]p es impar. Luego, [math]4\mid p(p-1)^2, de donde [math]4\mid 3^n-1, y [math]n es par. Reemplazando [math]n=2m y haciendo diferencia de cuadrados, tenemos que [math]p(p-1)^2=(3^m+1)(3^m-1).
Notemos ahora que [math]3^m+1 y [math]3^m-1 son pares consecutivos, de donde al menos uno es múltiplo de [math]4, y [math]8\mid (3^m+1)(3^m-1), de donde [math]8\mid p(p-1)^2. Como [math]p es impar, tenemos entonces que [math]8 \mid (p-1)^2, de donde [math]16\mid (p-1)^2 y [math]16\mid (3^m+1)(3^m-1)=3^n-1. Viendo ahora el ciclo de potencias de [math]3 módulo [math]16, tenemos que [math]4\mid n. Reemplazando [math]n=4k y haciendo diferencia de cuadrados, tenemos que [math]p(p-1)^2=(3^{2k}+1)(3^k+1)(3^k-1).
Notemos ahora que como [math](3^{2k}+1)(3^k+1)(3^k-1) son pares, comparten el factor [math]2. Vamos a ver, que estos números no comparten ningún otro factor.
- Para ver que [math]3^k+1 y [math]3^k-1 no comparten más factores, supongamos que [math]d divide a ambos. Luego, [math]d\mid (3^k+1)-(3^k-1)=2, y estamos.
- Usando lo mismo con [math]3^{2k}+1 y [math]3^k+1, tenemos que [math]d\mid 3^k+1 y que [math]d\mid 3^k(3^k+1)-(3^{2k}+1), de donde [math]d\mid 3^k-1 y [math]d\mid 2.
- De la misma forma, llegamos a que [math]d\mid 3^{2k}+1 y [math]d\mid 3^k-1 implica que [math]d\mid 3^k+1, de donde [math]d\mid 2.
Notemos ahora que en [math]p(p-1)^2, como [math]p es impar, la valuación de [math]2 es par, de donde [math](3^{2k}+1)(3^k+1)(3^k-1) tiene una valuación par del factor [math]2. Notemos que 4 no puede dividir a [math]3^{2k}+1, ya que este número es congruente a [math]2 módulo [math]4. Luego, tenemos que la valuación del factor [math]2 en [math](3^k+1)(3^k-1) es impar, por lo que es par en al menos uno de los dos factores. Como el máximo común divisor de cualquiera de estos tres términos es [math]2, tenemos que las potencias pares de primos en [math](p-1)^2 van a distintos factores, ya que si hubiese un primo en dos factores distintos, su máximo común divisor excedería [math]2. Luego, estamos ante solo dos casos:
Caso 1:[math]p\mid 3^{2k}+1
Tenemos que en al menos uno de los otros dos factores, todos sus primos están elevados a una potencia par, de donde o bien [math]3^k+1 o [math]3^k-1 es un cuadrado perfecto. En el primer caso, tenemos que [math]3^k+1=b^2, de donde [math]3^k=(b+1)(b-1). Notemos que las únicas potencias de [math]3 a diferencia [math]2 son [math]3 y [math]1, de donde [math]b=2, [math]k=1 y esto nos termina generando la solución [math]n=4, que nos da [math]p=5. En el segundo caso, tenemos que [math]3^k-1 es un cuadrado perfecto, pero como [math]k es positivo, esto implica que [math]3^k-1 tiene resto [math]2 en la división por [math]3, por lo que no puede ser un cuadrado.
Caso 2:[math]p no divide a [math]3^{2k}+1
En este caso, tenemos que el único factor que no está elevado a una potencia par en [math]3^{2k}+1 es el [math]2, por lo que [math]3^{2k}+1 es el doble de un cuadrado perfecto. Sin embargo, como [math]k es positivo, tenemos que [math]3^{2k}+1 tiene resto [math]1 en la división por [math]3, por lo que el cuadrado perfecto tendría resto [math]2 en la división por [math]3, por lo que no puede ser un cuadrado.
Si [math]p es par, solo tenemos para ver [math]p=2, lo que nos da la solución [math]n=1. Luego, nuestras únicas soluciones son [math]p=2, [math]n=1 y [math]p=5, [math]n=4.
Para $p=2$ encontramos que $n=1$. Si $p\neq 2$, el problema es equivalente a
$p^3-2p^2+p=3^n-1=2\cdot (3^{n-1}+ \ldots + 1)$
Ahora como $p-1$ es par y está elevado al cuadrado, la cantidad de factores dos en el lado derecho debe ser par. Entonces $(3^{n-1}+ \ldots + 1)$ debe ser par. Como son $n$ términos impares sumados, para que esto ocurra $n$ debe ser par. Escribimos $n=2k$ y luego:
$p^3-2p^2+p+1=3^{2k}=(3^k)^2$
Ahora nos olvidamos del problema original y lo convertimos en "hallar todos los $p$ primos impares tales que $p^3-2p^2+p+1$ es un cuadrado perfecto", que es casi lo mismo que el problema mencionado anteriormente. Desafío: resolverlo de la misma forma. Si no, acá la solución:
El problema equivale a ver que existe un $m$ entero tal que $p^3-2p^2+p+1=m^2$, o lo que es lo mismo
$p^3-2p^2+p=m^2-1=(m-1)(m+1)$
Caso 1: $p \mid m-1$. Entonces escribimos $m-1=pq$ con algún $q$ entero positivo, por lo tanto $m=pq+1$. Reemplazando en la ecuación nos queda
$p^3-2p^2+p=pq(pq+2)$
y como $p\neq 0$
$p^2-2p+1=q(pq+2)$
Distribuyo y paso todo de un lado y queda
$p^2-(2+q^2)p+(1-2q)=0$
Viéndolo como una cuadrática con variable $p$ el discriminante nos queda $k^4+4k^2+8k$. Para que tenga soluciones enteras la ecuación el discriminante debería ser un cuadrado perfecto, pero no es difícil ver que
$(k^2+3)^2>k^4+4k^2+8k>(k^2+2)^2$
Por lo tanto como acotamos la expresión entre dos cuadrados perfectos consecutivos, esta no puede ser un cuadrado y entonces este caso no tiene soluciones.
Caso 2: $p \mid m+1$. Entonces escribimos $m+1=pq$ con algún $q$ entero positivo, por lo tanto $m=pq-1$. Reemplazando en la ecuación nos queda
$p^3-2p^2+p=(pq-2)pq$
y como $p\neq 0$
$p^2-2p+1=(pq-2)q$
Distribuyo y paso todo de un lado y queda
$p^2-(2+q^2)p+(1+2q)=0$
Viéndolo como una cuadrática con variable $p$ el discriminante nos queda $k^4+4k^2-8k$. Para que tenga soluciones enteras la ecuación el discriminante debería ser un cuadrado perfecto, pero no es difícil ver que $(k^2+1)^2>k^4+4k^2-8k$ y además para $k>2$ tenemos $k^4+4k^2-8k>k^4$. Por lo tanto para $k>2$ no hay soluciones ya que
$(k^2+1)^2>k^4+4k^2-8k>k^4$
Ahora reemplazando $k=2$ tenemos que $p^2-2p+1=4p-4$ que equivale a $6p-p^2 = 5$, por lo tanto $p \mid 5$ y evaluando en $p=5$ vemos que arroja una solución. Reemplazando en $k=1$ y despejando llegamos a que $3p - p^2 = 3$, por lo que $p \mid 3$, pero $3\cdot 3 - 3^2=0$, absurdo.
Luego la única solución es $p=5$.
Como la única solución fue $p=5$, reemplazando en el enunciado obtenemos como solución al problema original $(p, n)=(5, 4)$. Entonces las únicas soluciones al problema original son $(5, 4)$ y $(2, 1)$.
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