Hay una colección de números enteros positivos distintos escritos en el pizarrón. Su promedio es un número decimal con la parte decimal exactamente igual a la de [math]0,3168. Determinar cuál es el menor valor posible del promedio.
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Si llamamos [math]p al promedio, [math]n a la cantidad de números y [math]s a la suma de estos, tenemos la ecuación [math]p\times n=s con [math]n y [math]s enteros. Como la parte decimal de [math]p es [math]0,3168; el primer ejemplo que surge de [math]n y [math]s enteros es [math]n=10000 y [math]s=3168 (si el promedio fuera exactamente [math]0,3168).
Para buscar los menores [math]n y [math]s posibles debemos dividir ambos por lo máximo posible.
El divisor común mayor entre estos [math]n y [math]s es [math]2^4; y dividiendo ambos números por esto obtenemos [math]0,3168\times 625=198. Sin embargo, la menor suma posible entre 625 enteros positivos es la suma del [math]1 al [math]625; es decir [math]\frac{625\times 626}{2}=195625; por lo que lo que tenemos que encontrar es el menor [math]p para que se cumpla que [math]{p\times 625}\geq 195625; por lo que [math]p\geq {\frac {195625}{625}}=313; luego el menor [math]p posible es [math]313,3168; y entonces [math]s=p\times 625=313,3168\times 625=195823.
Por lo tanto tenemos que el menor promedio posible es [math]313,3168 y puede formarse con los números [math]1; 2; 3; ...; 623; 624; 195823+625-195625=823.
En realidad, no necesariamente querés el [math]n más chico. Querés minimizar el promedio, o sea [math]s/n. Eso en general podría darse aumentando [math]n. Habría que hacer un comentario más que es que como son distintos el promedio es por lo menos la suma desde [math]1 hasta [math]n dividido [math]n, y si [math]n > 625 \Rightarrow p \geq (n*(n+1)/2)/n = (n+1)/2 \geq 313. Usaste lo de [math]s \geq (1+2+...+n) pero faltaría un comentario así para justificar bien que con [math]n mayores no podés bajar el promedio.
En realidad, no necesariamente querés el [math]n más chico. Querés minimizar el promedio, o sea [math]s/n. Eso en general podría darse aumentando [math]n. Habría que hacer un comentario más que es que como son distintos el promedio es por lo menos la suma desde [math]1 hasta [math]n dividido [math]n, y si [math]n > 625 \Rightarrow p \geq (n*(n+1)/2)/n = (n+1)/2 \geq 313. Usaste lo de [math]s \geq (1+2+...+n) pero faltaría un comentario así para justificar bien que con [math]n mayores no podés bajar el promedio.
Tenés razón, en la prueba lo puse y acá me olvidé de agregarlo. Cuando tenga un rato lo corrijo.
Expresando el promedio como una fracción, en donde $X$ es la parte entera, queda que equivale a $X\frac{3168}{10000}=X\frac{198}{625}=\frac{625X+198}{625}$, que es irreducible, por lo cual para llegar a un promedio de esta forma tendrán que haber como mínimo 625 números (Recordando que el denominador es la cantidad de números para calcular el promedio entre ellos). Luego, como se pide que el promedio sea mínimo, y que los números sean todos diferentes entre sí, la menor suma de 625 números diferentes es $\displaystyle\sum_{1}^{625}=\frac{625\cdot 626}{2}=625\cdot 313$. El siguiente menor número de la forma $625X+198$ es $625\cdot 313 + 198$, por lo que $\frac{625\cdot 313+198}{625}=313.3168$ es el menor promedio. Para lograr este promedio, se necesita que la suma de los 625 números sea $625\cdot 313+198$, que se puede obtener tomando los números del 1 al 624, y el 823. $\clubsuit$
Eratóstenes fue un elemento esencial de la matemática; sus descubrimientos quedarán periódicos en la historia. En su tabla, basta con mirar levemente hacia la izquierda para pasar del 79 al 47