Olimpiada de Mayo - 2017 N2P4

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Violeta

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Olimpiada de Mayo - 2017 N2P4

Mensaje sin leer por Violeta » Mar 30 May, 2017 8:07 pm

Encontrar cuántos número cuyos dígitos son una permitación de [math] son divisibles por 7.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Joacoini

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Re: Olimpiada de Mayo - 2017 N2P4

Mensaje sin leer por Joacoini » Mié 12 Feb, 2020 8:55 am

Respondo en este post ya que es del 2017 mientras que el del archivo es del 2019 Marchi robapost.
Spoiler: mostrar
Los restos mod $7$ de las primeras $7$ potencias de $10$ son $1, 3, 2, 6, 4, 5, 1$, si llamamos $a_1, ..., a_7$ a los dígitos del número entonces lo que buscamos es que

$a_1+5a_2+4a_3+6a_4+2a_5+3a_6+a_7\equiv 0 mod(7)$

$a_1-2a_2-3a_3-a_4+2a_5+3a_6+a_7\equiv 0 mod(7)$

$(a_1-a_4)+2(a_5-a_2)+3(a_6-a_3)+a_7\equiv 0 mod(7)$


Ahora vamos a separar los posibles números en grupos de la siguiente forma.

Agarramos un número y le restamos $1$ a cada uno de sus dígitos excepto al $1$ que lo reemplazamos por un $7$, si repetimos esto $7$ veces volvemos al números original y todos los números por los que pasamos van a formar parte del grupo, algunos ejemplos son.

$\{1234567, 7123456, 6712345, 5671234, 4567123, 3456712, 2345671\}$
Y
$\{3725614, 2614573, 1573462, 7462351, 6351247,5247136, 4136725\}$

Cómo tenemos $7!$ números estamos armando $6!=720$ grupos, ahora veamos que pasa con la ecuación de arriba para los números de un grupo.

$(a_1-a_4)+2(a_5-a_2)+3(a_6-a_3)$ mantiene su resto constante ya que
$(a_1-1-(a_4-1))+2(a_5-1-(a_2-1))+3(a_6-1-(a_3-1))\equiv(a_1-a_4)+2(a_5-a_2)+3(a_6-a_3) mod(7)$

Llamamos $r$ a ese resto entonces buscamos los números en ese grupo que cumplen que

$r+a_7\equiv 0 mod(7)$

Pero como para cada número del grupo $a_7$ tiene un resto distinto y esa ecuación solo admite un resto como solución tenemos que exactamente un número del grupo cumple la ecuación y como la cantidad de grupos es $720$ la cantidad de números que buscamos también es $720$.
2  
NO HAY ANÁLISIS.

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