Segundo Pretorneo 1996 NM P2

[Gianni De Rico]

a) Decidir si existe un número entero [math]n tal que los tres números [math]n-96, [math]n y [math]n+96 son primos positivos.

(2 PUNTOS)

b) Decidir si existe un número entero [math]n tal que los tres números [math]n-1996, [math]n y [math]n+1996 son primos positivos.

(2 PUNTOS)

[Gianni De Rico]

a)

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Vemos que [math]n-96\neq 2 y [math]n-96\neq 3 ya que [math]96\equiv 0(2) y [math]96\equiv 0(3). Y por lo tanto tendríamos [math]n\equiv 0(2) o [math]n\equiv 0(3), que es una contradicción. Ahora si [math]n-96=5 entonces [math]n=101 y [math]n+96=197 que son primos. Por lo tanto, existe un número que cumple y es [math]n=101

b)

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No existe. Como [math]1996\equiv 1(3) si tomamos [math]n-1996\equiv 2(3) entonces [math]n\equiv 0(3). Si tomamos [math]n-1996\equiv 1(3) entonces [math]n+1996=(n-1996)+1996+1996\equiv 1+1+1\equiv 0(3). Por lo tanto sólo podríamos tener [math]n-1996\equiv 0(3)\Rightarrow n-1996=3\Rightarrow n+1996=3995\equiv 0(5), que tampoco cumple.

Por lo que no existe un [math]n que cumpla las condiciones del enunciado.