Parejas (a,b) y ecuacion

Parejas (a,b) y ecuacion

UNREAD_POSTpor Pinga2005 » Dom 18 Jun, 2017 4:09 pm

Determinar todas los parejas $(a, b)$ de números enteros tales que $a^3+2a+1=2^b$

Pinga2005
 
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Re: Parejas (a,b) y ecuacion

UNREAD_POSTpor Dauphineg » Lun 11 Sep, 2017 4:41 am

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■ Si $a<0\implies 2^b<0$ (Absurdo)
■ Si $a=0\implies b=0$ y tenemos una solución acá
■ Si $a=1\implies b=2$ y tenemos otra solución acá
■ Si $a>1\implies b>3\implies$ que $2^b$ es par $\implies$ que $a$ es impar
▄ Si $b$ es par, digamos $b=2k$ con $k\in N$ $\implies a(a^2+2)=2^{2k}-1=(2^k-1)(2^k+1)$ $(*)$
Sea $t=(a,a^2+2)\implies t\mid a \wedge t\mid a^2+2\implies t\mid a^2 \wedge t\mid a^2+2\implies t\mid 2$
Dado que ya sabemos que $a$ es impar debe ser $t\neq 2\implies t=1$ y los números $a$ y $a^2+2$ son coprimos
Analogamente si $t'=(2^k-1,2^k+1)\implies t'\mid 2$,
Como $2^k-1$ y $2^k+1$ son impares entonces $t'=1$ y los números $2^k-1$ y $2^k+1$ son coprimos
Debido a que $2^k-1\mid  a(a^2+2)$ hay 2 posibilidades: $2^k-1\mid  a \vee 2^k-1\mid a^2+2$
Si $2^k-1\mid  a\implies 2^k-1\leq a \implies 2^k+1\leq a+2$
Luego multiplicando las ultimas $2$ desigualdades obtenemos $(2^k-1)(2^k+1)\leq a(a+2)$
Y por $(*)$ llegamos a que $a(a^2+2)\leq a(a+2)\implies a^2+2\leq a+2\implies a\leq 1$ (Absurdo)
Entonces $2^k-1\mid a^2+2$ $(1)$
Debido a que $2^k+1\mid  a(a^2+2)$ hay 2 posibilidades: $2^k+1\mid  a \vee 2^k+1\mid a^2+2$
Si $2^k+1\mid  a\implies 2^k+1\leq a \implies 2^k-1\leq a-2$
Luego multiplicando las ultimas $2$ desigualdades obtenemos $(2^k-1)(2^k+1)\leq a(a-2)$
Y por $(*)$ llegamos a que $a(a^2+2)\leq a(a-2)\implies a^2+2\leq a-2< a+2\implies a<1$ (Absurdo)
Entonces $2^k+1\mid a^2+2$ $(2)$
Ahora de $(1)$, $(2)$ y del hecho que $2^k-1$ y $2^k+1$ son coprimos concluimos que $(2^k-1)(2^k+1)\mid a^2+2$
De esto ultimo y de $(*)$ nos queda que $a(a^2+2)\mid a^2+2\implies a\mid 1\implies a=1$ (Absurdo)
Finalmente no habrá mas soluciones con $b$ par
▄ Si $b$ es impar, digamos $b=2k+1$ con $k\in N$, tendremos que $a(a^2+2)+1=2^{2k+1}$
Es fácil ver que el miembro izquierdo de esta igualdad es congruente con $1$ modulo $3$ pero el miembro derecho de esta igualdad
es una potencia impar de $2$, que es sabido son congruentes con $2$ modulo $3$ y entonces no podrá darse la igualdad jamas en este caso.
Las únicas soluciones son las $2$ vistas al comienzo
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