Muy lindo sobre una imo reciente

[Pinga2005]

Sean [math]a, [math]b enteros positivos. Demostrar que si [math]4ab-1 divide a [math](4a^2-1)^2 , entonces [math]a=b

[Violeta]

IMO 2007 P5

[Pinga2005]

Si, verdadero. ¿Puede alguien publicar una solución? Gracias

[JPablo]

Este problema es un clásico. La idea con la que se resuelve se puede reconstruir en muchos otros problemas que por lo general son fáciles de identificar.

Spoiler: mostrar

Como [math]4ab-1\mid \left (4a^2-1\right )^2 entonces [math]4ab-1\mid b^2\left (4a^2-1\right )^2=\left (4a^2b-b\right )^2, y como [math]4ab\equiv 1\pmod {4ab-1} entonces [math]4ab-1\mid \left (a-b\right )^2.

Sea [math]k=\frac{\left (a-b\right )^2}{4ab-1}. Es claro que [math]k\in \mathbb{N}_0. Consideremos el conjunto

[math]S=\left \{\left (x,y\right )\in \mathbb{N}^2:\frac{\left (x-y\right )^2}{4xy-1}=k\right \}

Por hipótesis [math]\left (a,b\right )\in S, luego [math]S es no vacío. Sea [math]\left (A,B\right )\in S una pareja que minimice la suma [math]x+y. Queremos ver que [math]A=B, esto implicará que [math]k=0, lo que a su vez implicará que [math]a=b.

Veámoslo por el absurdo. Supongamos que [math]A\neq B. Como el papel de [math]A y [math]B es simétrico, supongamos sin pérdida de generalidad que [math]A>B. Consideramos la ecuación

[math]\frac{\left (x-B\right )^2}{4xB-1}=k\Longleftrightarrow x^2-\left (2B+4kB\right )x+B^2+k=0

Sabemos que [math]A es una raíz de la cuadrática. Sea [math]x_0 la otra raíz. Sabemos que [math]A+x_0=2B+4kB, por lo tanto [math]x_0\in \mathbb{Z}. Más aún, [math]x_0>0 pues [math]Ax_0=B^2+k>0. Entonces [math]\left (x_0,B\right )\in S, por lo tanto nuestra elección de [math]\left (A,B\right ) nos dice que [math]A+B\leq x_0+B, de donde [math]A\leq x_0. Volviendo a la expresión [math]Ax_0=B^2+k, usando nuestra última desigualdad y recordando quién es [math]k, se tiene

[math]A^2\leq B^2+\frac{\left (A-B\right )^2}{4AB-1}

[math]\left (A+B\right )\left (A-B\right )\leq \frac{\left (A-B\right )^2}{4AB-1}

Como [math]A-B>0 podemos cancelarlo y la desigualdad no se altera.

[math]\left (A+B\right )\left (4AB-1\right )\leq A-B

Lo cual es claramente imposible, recordando que [math]A y [math]B son números naturales.

El absurdo provino de suponer [math]A\neq B. Por lo tanto [math]A=B, de donde [math]k=0 y por lo tanto [math]a=b. [math]\blacksquare

Este es uno de los casos más sencillos en los que este método funciona, en algunos otros casos hay que completar algunos detalles menores pero la idea es siempre la misma. Recomiendo, para poner en práctica la idea, pensar este problema y tratar de construir un argumento similar, que es en esencia lo que hay que hacer.

[JPablo]

(Fijate si no podés cambiar el título del topic al que propuso Violeta, así es más fácil de identificar el problema posteado).