Filvii's Problem

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Gianni De Rico

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Filvii's Problem

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Sea [math] un número natural compuesto. Sean [math], [math], [math] naturales.

a) Determinar si para todo [math] existen [math], con [math] tales que
[math]
[math]

b) Sino, determinar todos los valores de [math] para los cuales existen [math], con [math] tales que
[math]
[math]
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lichafilloy

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Re: Filvii's Problem

Mensaje sin leer por lichafilloy »

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Lo divido en casos según el resto en la división por [math].

[math] [math] divide a [math]. Análogamente, la otra condición es simétrica a que [math] divida a [math]

Entonces queremos que, para algún [math], [math] tenga dos divisores positivos distintos y mayores a [math].

Sea [math] con [math] entre [math] y [math] (entonces [math] esta entre los cuadrados [math], inclusive, y [math]).
Si [math] esta entre [math] y [math] Tomamos [math] [math] y [math]. Entonces [math] es natural y menor estricto a [math] y ademas, [math] Entonces [math] y [math] dividen a [math] como queríamos.

Si [math] esta entre [math] y [math] Entonces tomamos [math], [math] y [math]. [math] es positivo y se mueve entre [math] y [math] por lo que es menor a [math] y [math] y [math]. Nos faltan los casos [math],[math],[math], [math].

Para el ultimo, Tomamos [math], [math] [math] [math] Solo necesitamos que[math]. (1)
[math] tomamos [math], [math], [math]. [math] Solo necesitamos que [math].
(2)
[math] Tomamos [math],[math],[math].[math] Solo necesitamos que [math]. (3)

Finalmente, si [math] Tomamos [math],[math],[math]. Entonces [math] Solo necesitamos que [math]. (4)

Nos quedan casos sueltos, producto de las condiciones que tiene que cumplir [math] en [math]. Estos son [math].

[math] cumple. [math] cumple. [math] cumple. [math] cumple.

Para [math] Basta con revisar a mano (es fácil) para ver que no cumplen, y por ende son los unicos numeros naturales que no cumple.

No entendi la condicion de que [math] sea compuesto, creo que no cambia nada en el problema, de ultima sacas los primos a esa lista y listo.
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Gianni De Rico

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Re: Filvii's Problem

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

lichafilloy escribió:
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Para [math] Basta con revisar a mano (es fácil) para ver que no cumplen, y por ende son los unicos numeros naturales que no cumple.
No estoy seguro de en qué parte le estarás errando al procedimiento pero te tiro algunos contraejemplos:
Spoiler: mostrar
Caso [math]:
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[math]
[math]
[math]
Caso [math]:
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[math]
[math]
[math]
Caso [math]:
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[math]
[math]
[math]
Mi demostración
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Comprobamos a mano que el [math] y el [math] no funcionan, ya que [math], [math], [math], [math] y [math] (los tres primeros casos no sirven porque el [math] no es natural), y [math], [math] y [math]. Los casos [math] tampoco sirven porque no son números compuestos. Consideramos entonces [math].


Vemos el problema en [math] casos según la paridad de [math]

Caso 1: [math]
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Si tomamos [math] y [math] tenemos [math], [math] y [math].
Entonces
[math]
[math]

Existe un [math] para cualquier [math]
Caso 2: [math]
Spoiler: mostrar
Si tomamos [math] y [math] tenemos [math], [math] y [math].
Entonces
[math]
[math]

Existe un [math] para cualquier [math]
Entonces demostramos que existe un [math] para cualquier [math] impar y para cualquier [math] par con [math], por lo tanto, existe un [math] para cualquier [math], y como habíamos visto que [math] es un caso que no funciona, no es cierto que se cumpla para cualquier valor de [math]. Y el problema está resuelto.
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