Sea [math]C un número natural compuesto. Sean [math]A, [math]B, [math]D naturales.
a) Determinar si para todo [math]C existen [math](A,B,D), con [math]D<A<B<C tales que [math]C\equiv D(A) [math]C\equiv D(B)
b) Sino, determinar todos los valores de [math]C para los cuales existen [math](A,B,D), con [math]D<A<B<C tales que [math]C\equiv D(A) [math]C\equiv D(B)
Lo divido en casos según el resto en la división por [math]4.
[math]C \equiv D (A) \Leftrightarrow C - D \equiv 0 (A) \Leftrightarrow[math]A divide a [math]C - D. Análogamente, la otra condición es simétrica a que [math]B divida a [math]C - D
Entonces queremos que, para algún [math]D, [math]C - D tenga dos divisores positivos distintos y mayores a [math]D.
Sea [math]C = k^2 = r con [math]r entre [math]0 y [math]2k (entonces [math]C esta entre los cuadrados [math]k^2, inclusive, y [math](k + 1)^2).
Si [math]r esta entre [math]k + 1 y [math]2k - 1 Tomamos [math]A = k[math]B = k = 1 y [math]D = r - k. Entonces [math]r es natural y menor estricto a [math]k y ademas, [math]C - D = k^2 + k = K(K + 1) = A.B Entonces [math]A y [math]B dividen a [math]C - D como queríamos.
Si [math]r esta entre [math]0 y [math]k - 3 Entonces tomamos [math]A = k - 1, [math]B = k + 1 y [math]D = r + 1. [math]D es positivo y se mueve entre [math]1 y [math]K - 2 por lo que es menor a [math]A y [math]B y [math]C - D = k^2 - 1 = (k - 1)(k + 1) = A.B. Nos faltan los casos [math]r = k -2,[math]r = k - 1,[math]r = k, [math]r = 2k.
Para el ultimo, Tomamos [math]D = 3, [math]A = k - 1[math]B = k + 3[math]C - D = k^2 + 2k - 3 = (k - 1)(k + 1) Solo necesitamos que[math]k - 1 > 3 \Leftrightarrow k > 4. (1) [math]r = k tomamos [math]D =2, [math]A = k - 1, [math]B = k + 2. [math]C - D = k^2 + k - 2 = (k - 1)(k + 2) = A.B Solo necesitamos que [math]k - 1 > 2 \Leftrightarrow k > 3.
(2) [math]r = k - 1 Tomamos [math]D = 1,[math]A = k - 1,[math]B = k + 2.[math]C - D = k^2 + k - 2 = (k - 1)(k + 2) = A.B Solo necesitamos que [math]k - 1 > 1 \Leftrightarrow k > 2. (3)
Finalmente, si [math]r = k - 2 Tomamos [math]D = 4,[math]A = k - 2,[math]B = k = 3. Entonces [math]C - D = k^2 + k - 6 = (k - 2)(k + 3) = A.B Solo necesitamos que [math]k - 2 > 4 \Leftrightarrow k > 6. (4)
Nos quedan casos sueltos, producto de las condiciones que tiene que cumplir [math]k en [math](1),(2),(3), y (4). Estos son [math]k = 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,22,24,28,40.
Para [math]k = 1,2,3,4,5,6,8,10,12,24 Basta con revisar a mano (es fácil) para ver que no cumplen, y por ende son los unicos numeros naturales que no cumple.
No entendi la condicion de que [math]C sea compuesto, creo que no cambia nada en el problema, de ultima sacas los primos a esa lista y listo.
Para [math]k = 1,2,3,4,5,6,8,10,12,24 Basta con revisar a mano (es fácil) para ver que no cumplen, y por ende son los unicos numeros naturales que no cumple.
No estoy seguro de en qué parte le estarás errando al procedimiento pero te tiro algunos contraejemplos:
Comprobamos a mano que el [math]6 y el [math]4 no funcionan, ya que [math]6\equiv 0(1), [math]6\equiv 0(2), [math]6\equiv 0(3), [math]6\equiv 2(4) y [math]6\equiv 1(5) (los tres primeros casos no sirven porque el [math]0 no es natural), y [math]4\equiv 0(1), [math]4\equiv 0(2) y [math]4\equiv 1(3). Los casos [math]C=1,2,3,5,7 tampoco sirven porque no son números compuestos. Consideramos entonces [math]C\geq 8.
Vemos el problema en [math]2 casos según la paridad de [math]C
Si tomamos [math]B=C-2 y [math]A=\frac{B}{2} tenemos [math]B\equiv 2A\equiv 0(A), [math]C=B+2\equiv 0+2\equiv 2(A) y [math]C\equiv 2(B).
Entonces [math]C\equiv 2(A) [math]C\equiv 2(B)
Existe un [math]D para cualquier [math]C\equiv 0(2)
Si tomamos [math]B=C-1 y [math]A=\frac{B}{2} tenemos [math]B\equiv 2A\equiv 0(A), [math]C=B+1\equiv 0+1\equiv 1(A) y [math]C\equiv 1(B).
Entonces [math]C\equiv 1(A) [math]C\equiv 1(B)
Existe un [math]D para cualquier [math]C\equiv 1(2)
Entonces demostramos que existe un [math]D para cualquier [math]C impar y para cualquier [math]C par con [math]C\geq 8, por lo tanto, existe un [math]D para cualquier [math]C\geq 8, y como habíamos visto que [math]C=6 es un caso que no funciona, no es cierto que se cumpla para cualquier valor de [math]C. Y el problema está resuelto.