Pregunta 6 y7 ONEM 2016 nivel 3 segunda fase

Pregunta 6 y7 ONEM 2016 nivel 3 segunda fase

UNREAD_POSTpor Max » Dom 09 Jul, 2017 9:02 am

Pregunta 6 y7 ONEM 2016 nivel 3 segunda fase
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Max
 
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Re: Pregunta 6 y7 ONEM 2016 nivel 3 segunda fase

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Dom 09 Jul, 2017 11:49 am

Solución muy informal desde el celular

$6)$
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Queremos que $n+1$ sea el doble de un cuadrado y $n+2$ el triple de un cuadrado.
Probando los primeros cuadrados vemos que ninguno cumple hasta $n+1=2\times 121=242$, ya que $n+2=243=3\times 81$.
Entonces, el mínimo es $n=241$.
$\phi=\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}$
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Re: Pregunta 6 y7 ONEM 2016 nivel 3 segunda fase

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Dom 09 Jul, 2017 2:49 pm

$7)$
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Como $2^{15}>\sum_{i=0}^{14}2^i$.
Las únicas sumas mayores que $2^{16}+2^{15}$ serán las que la incluyen, o a alguna potencia mayor.

Entonces hay $\binom{17}{5}-\binom{15}{3}$ números enteros posibles.
$\phi=\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}$
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Re: Pregunta 6 y7 ONEM 2016 nivel 3 segunda fase

UNREAD_POSTpor Violeta » Lun 10 Jul, 2017 3:50 pm

Gianni De Rico escribió:$7)$
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Como $2^{15}>\sum_{i=0}^{14}2^i$.
Las únicas sumas mayores que $2^{16}+2^{15}$ serán las que la incluyen, o a alguna potencia mayor.

Entonces hay $\binom{17}{5}-\binom{15}{3}$ números enteros posibles.


Cerca... cuando dices (o decis, como dicen ustedes)
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$-\binom{15}{3}$
ya tienes que los numeros son de la forma:
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$2^{16} + 2^{15} + 2^i$
. Hay solo $15$ formas de escoger $i$. En total son
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$\binom{17}{3} - 15 = 680$
numeros.
Para todo $k$, existen $k$ primos en sucesión aritmética.
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Re: Pregunta 6 y7 ONEM 2016 nivel 3 segunda fase

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Lun 10 Jul, 2017 6:16 pm

Es cierto que sólo hay $15$ formas para elegir el siguiente $i$, pero el enunciado dice $5$ potencias de $2$. Entonces necesariamente tenemos que elegir tres potencias más. Por lo tanto, hay $\binom{15}{3}$ formas de elegir el resto de las potencias.
$\phi=\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}$
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Re: Pregunta 6 y7 ONEM 2016 nivel 3 segunda fase

UNREAD_POSTpor Violeta » Mar 11 Jul, 2017 3:21 am

Gianni De Rico escribió:Es cierto que sólo hay $15$ formas para elegir el siguiente $i$, pero el enunciado dice $5$ potencias de $2$. Entonces necesariamente tenemos que elegir tres potencias más. Por lo tanto, hay $\binom{15}{3}$ formas de elegir el resto de las potencias.


Oh... Perdona, se me pasó completamente por encima de la cabeza. Pensé que decía tres en vez de cinco. :oops:
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Re: Pregunta 6 y7 ONEM 2016 nivel 3 segunda fase

UNREAD_POSTpor ¿hola? » Mar 11 Jul, 2017 7:15 pm

Violeta escribió:
Gianni De Rico escribió:$7)$
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Como $2^{15}>\sum_{i=0}^{14}2^i$.
Las únicas sumas mayores que $2^{16}+2^{15}$ serán las que la incluyen, o a alguna potencia mayor.

Entonces hay $\binom{17}{5}-\binom{15}{3}$ números enteros posibles.


Cerca... cuando dices (o decis, como dicen ustedes)
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$-\binom{15}{3}$
ya tienes que los numeros son de la forma:
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$2^{16} + 2^{15} + 2^i$
. Hay solo $15$ formas de escoger $i$. En total son
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$\binom{17}{3} - 15 = 680$
numeros.

Decís*
Yes, he who

¿hola?
 
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Re: Pregunta 6 y7 ONEM 2016 nivel 3 segunda fase

UNREAD_POSTpor Violeta » Mar 11 Jul, 2017 9:53 pm

¿hola? escribió:
Violeta escribió:
Gianni De Rico escribió:$7)$
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Como $2^{15}>\sum_{i=0}^{14}2^i$.
Las únicas sumas mayores que $2^{16}+2^{15}$ serán las que la incluyen, o a alguna potencia mayor.

Entonces hay $\binom{17}{5}-\binom{15}{3}$ números enteros posibles.


Cerca... cuando dices (o decis, como dicen ustedes)
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$-\binom{15}{3}$
ya tienes que los numeros son de la forma:
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$2^{16} + 2^{15} + 2^i$
. Hay solo $15$ formas de escoger $i$. En total son
Spoiler: Mostrar
$\binom{17}{3} - 15 = 680$
numeros.

Decís*


Teclado ingles, no tengo acentos ni tildes. :(
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