Determinar todos los enteros positivo [math]n tales que la ecuación [math]x^3+y^3+z^3=n \cdot x^2 \cdot y^2 \cdot z^2
tiene soluciones enteras positivas
Como la ecuación presenta simetría podemos suponer sin perdida de generalidad que [math]1\leq x\leq y\leq z. Notar ademas que cada variable al cuadrado debe necesariamente dividir a la suma de los cubos de las otras dos variables, en particular usaremos el hecho de que [math]z^2\mid x^3+y^3
■Primero veremos que ocurre si [math]x=1\wedge 1\leq y\leq 4 [math]1) x=1\wedge y=1\Rightarrow z^2\mid 2\Rightarrow z=1\Rightarrow n=3 que es un entero positivo para el que la ecuación tiene soluciones positivas. [math]2) x=1\wedge y=2\Rightarrow z^2\mid 9\Rightarrow z=3 (ya que [math]2\leq z). Luego [math]n=1 es un entero positivo para el que la ecuación tiene soluciones positivas. [math]3) x=1\wedge y=3\Rightarrow z^2\mid 28\wedge 3\leq z\Rightarrow\nexists z. [math]4) x=1\wedge y=4\Rightarrow z^2\mid 65\wedge 4\leq z\Rightarrow\nexists z .
■■ Ahora veremos que pasa si [math]x=1\wedge 5\leq y [math]5\leq y\leq z\Rightarrow 125\leq z^3\Rightarrow 1\leq \frac{z^3}{125}\Rightarrow 1+2z^3\leq \frac{z^3}{125}+2z^3 [math]\Rightarrow 1+z^3+z^3\leq \frac{251}{125}z^3\Rightarrow 1+y^3+z^3\leq 1+z^3+z^3\leq \frac{251}{125}z^3 [math]\Rightarrow n.y^2.z^2=1+y^3+z^3\leq \frac{251}{125}z^3\Rightarrow n.y^2\leq \frac{251}{125}z
Ahora elevando al cuadrado tendremos [math](n.y^2)^2\leq (\frac{251}{125}z)^2\Rightarrow n^2.y^4\leq (\frac{251}{125}z)^2\Rightarrow n^2.y^3.y\leq (\frac{251}{125}z)^2 [math]\Rightarrow n^2.y^3.5\leq n^2.y^3.y\leq (\frac{251}{125}z)^2\Rightarrow y^3\leq (\frac{251}{125}z)^2.(\frac{1}{5.n^2})[math](*)
Por otro lado [math]1+\frac{1}{y^3}\leq1+\frac{1}{125}\Rightarrow\frac{1+y^3}{y^3}\leq\frac{126}{125}\Rightarrow (1+y^3)\leq \frac{126}{125}.y^3, de aca y del hecho que [math]z^2\mid 1+y^3 [math]\Rightarrow z^2\leq1+y^3\leq \frac{126}{125}.y^3, ahora usando [math](*)
obtenemos [math]z^2\leq \frac{126}{125}.y^3\leq\frac{126}{125}.(\frac{251}{125}z)^2.(\frac{1}{5.n^2})\Rightarrow z^2<1.\frac{z^2}{n^2}\Rightarrow n^2<1(Absurdo)
■■■ Si [math]2\leq x\Rightarrow 2\leq x \leq y \Rightarrow \frac{1}{x^3}+ \frac{1}{y^3}\leq \frac{1}{4} \Rightarrow x^3+y^3 \leq\frac {x^3.y^3}{4}[math](**)
Como [math]n.x^2.y^2.z^2=x^3+y^3+z^3\leq z^3+z^3+z^3=3.z^3 \Rightarrow n.x^2.y^2\leq 3.z , si elevamos al cuadrado tenemos [math](n.x^2.y^2)^2\leq (3.z)^2 \Rightarrow n^2.x^4.y^4\leq 9.z^2 \Rightarrow n^2.x^3.x.y^3.y\leq 9.z^2 [math]\Rightarrow n^2.x^3.2.y^3.2\leq 9.z^2 \Rightarrow x^3.y^3\leq \frac {9.z^2}{4.n^2}, pero como [math]z^2\mid x^3+y^3\Rightarrow z^2\leq x^3+y^3 tendremos que [math]x^3.y^3\leq \frac {9.(x^3+y^3)}{4.n^2} y ahora usando [math](**) quedara [math]x^3.y^3\leq \frac {9}{16}.\frac{x^3.y^3}{n^2} [math]\Rightarrow n^2\leq \frac {9}{16}<1(Absurdo)
Ya no queda nada mas que analizar, los valores de [math]n son solamente [math]1 y [math]3
