En primer lugar observamos que la igualdad se reduce a ver [math]p^3 +1 = q^3 (p+1) que factorizando el lado izquierdo nos queda [math](p+1)(p^2-p+1)=q^3(p+1) por lo cuál [math]p^2 - p =\boxed{ p(p-1) = (q-1)(q^2+q+1) }= q^3 -1. Dividimos en dos casos:
Caso 1: Si [math]p no divide a [math]q-1, entonces son coprimos y luego [math]q-1|p-1, tomo [math]p-1=k(q-1) con [math]k entero positivo. Reemplazando en la cuenta y cancelando los [math](q-1) tenemos. [math]k^2(q-1) + k = q^2 + q + 1 y pasando todo de un lado [math]0=q^2 + (1-k^2)q+k^2-k+1, que es una cuadrática en [math]q por lo que su discriminante es [math]k^4-6k^2+4k-3 y este debe ser un cuadrado perfecto. Pero,
para todo entero positivo [math]k excepto [math]1, 2, 3 y no es difícil ver que el único que anda es [math]k=3. Resolviendo la cuadrática tenemos que [math]q=7, y luego [math]p=3(7-1) +1 = 19.
Caso 2: Si [math]p divide a [math]q-1, entonces tomo [math]q-1=kp y la cuenta cancelando los [math]p y desarrollando el lado derecho nos queda [math]p-1=k^3p^2+3k^2p+3k pero el lado derecho es claramente más grande que el izquierdo para [math]k\geq1 (basta ver que como [math]p y [math]k son enteros positivos, [math]3k^2p \geq p \geq p-1 ) entonces es absurdo.
Mirando la ecuación origina, el lado derecho es siempre positivo por lo que, mirando el lado izquierdo, [math]p>q. Así que el segundo caso que hiciste se puede omitir