Selectivo Ibero 2017 Problema 2

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MateoCV

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Selectivo Ibero 2017 Problema 2

Mensaje sin leer por MateoCV » Vie 04 Ago, 2017 4:46 pm

Resolver la ecuación [math], donde [math] y [math] son números primos positivos.
Nota. El [math] no es primo
[math] es primo

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AgusBarreto

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Re: Selectivo Ibero 2017 Problema 2

Mensaje sin leer por AgusBarreto » Vie 04 Ago, 2017 5:17 pm

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En primer lugar observamos que la igualdad se reduce a ver [math] que factorizando el lado izquierdo nos queda [math] por lo cuál [math]. Dividimos en dos casos:

Caso 1: Si [math] no divide a [math], entonces son coprimos y luego [math], tomo [math] con [math] entero positivo. Reemplazando en la cuenta y cancelando los [math] tenemos.
[math] y pasando todo de un lado [math], que es una cuadrática en [math] por lo que su discriminante es [math] y este debe ser un cuadrado perfecto. Pero,
[math]
para todo entero positivo [math] excepto [math] y no es difícil ver que el único que anda es [math]. Resolviendo la cuadrática tenemos que [math], y luego [math].

Caso 2: Si [math] divide a [math], entonces tomo [math] y la cuenta cancelando los [math] y desarrollando el lado derecho nos queda [math] pero el lado derecho es claramente más grande que el izquierdo para [math] (basta ver que como [math] y [math] son enteros positivos, [math] ) entonces es absurdo.

Y con eso estamos. ■

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Martín Vacas Vignolo
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Re: Selectivo Ibero 2017 Problema 2

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Vie 04 Ago, 2017 6:19 pm

Un comentario
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Mirando la ecuación origina, el lado derecho es siempre positivo por lo que, mirando el lado izquierdo, [math]. Así que el segundo caso que hiciste se puede omitir
2  
[math]

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