Provincial 2001 N3 P1

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UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Mar 08 Ago, 2017 11:33 pm

Hallar todos los números enteros $n$ tales que $\frac{n^2+7}{n+3}$ es también un número entero.
$e^{i\pi}+1=0$
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Gianni De Rico
 
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Re: Provincial 2001 N3 P1

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Mar 08 Ago, 2017 11:34 pm

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La condición del enunciado puede reescribirse como:
$n+3|n^2+7$

Además:
$n+3|(n+3)(n-3)=n^2-9$

Entonces:
$n+3|n^2+7-(n^2-9)=n^2+7-n^2+9=16$

Por lo tanto, los únicos valores que puede tomar $n+3$ son:
$\bullet n+3=-16\Rightarrow n=-16-3=-19$
$\bullet n+3=-8\Rightarrow n=-8-3=-11$
$\bullet n+3=-4\Rightarrow n=-4-3=-7$
$\bullet n+3=-2\Rightarrow n=-2-3=-5$
$\bullet n+3=-1\Rightarrow n=-1-3=-4$
$\bullet n+3=1\Rightarrow n=1-3=-2$
$\bullet n+3=2\Rightarrow n=2-3=-1$
$\bullet n+3=4\Rightarrow n=4-3=1$
$\bullet n+3=8\Rightarrow n=8-3=5$
$\bullet n+3=16\Rightarrow n=16-3=13$

Comprobando con la calculadora vemos que todos funcionan.
$e^{i\pi}+1=0$

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Re: Provincial 2001 N3 P1

UNREAD_POSTpor sebach » Mié 09 Ago, 2017 3:48 pm

Comentario
Spoiler: Mostrar
No hace falta verificar con la calculadora en realidad. $n+3 | 16 \iff n+3 | 16 + (n+3)(n-3) = n^2 + 7$ (ya que los restos se suman y como el resto de $(n+3)(n-3)$ es $0$, el resto de $16$ y $n^2 + 7$ será el mismo. Entonces para todo valor de $n$ tal que $n+3 | 16$, se tendrá que $n+3 | n^2 + 7$

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