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Provincial 2001 N3 P1
Publicado: Mar 08 Ago, 2017 11:33 pm
por Gianni De Rico
Hallar todos los números enteros $n$ tales que $\dfrac{n^2+7}{n+3}$ es también un número entero.
Re: Provincial 2001 N3 P1
Publicado: Mar 08 Ago, 2017 11:34 pm
por Gianni De Rico
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- La condición del enunciado puede reescribirse como:
[math]n+3|n^2+7
Además:
[math]n+3|(n+3)(n-3)=n^2-9
Entonces:
[math]n+3|n^2+7-(n^2-9)=n^2+7-n^2+9=16
Por lo tanto, los únicos valores que puede tomar [math]n+3 son:
[math]\bullet n+3=-16\Rightarrow n=-16-3=-19
[math]\bullet n+3=-8\Rightarrow n=-8-3=-11
[math]\bullet n+3=-4\Rightarrow n=-4-3=-7
[math]\bullet n+3=-2\Rightarrow n=-2-3=-5
[math]\bullet n+3=-1\Rightarrow n=-1-3=-4
[math]\bullet n+3=1\Rightarrow n=1-3=-2
[math]\bullet n+3=2\Rightarrow n=2-3=-1
[math]\bullet n+3=4\Rightarrow n=4-3=1
[math]\bullet n+3=8\Rightarrow n=8-3=5
[math]\bullet n+3=16\Rightarrow n=16-3=13
Comprobando con la calculadora vemos que todos funcionan.
Re: Provincial 2001 N3 P1
Publicado: Mié 09 Ago, 2017 3:48 pm
por sebach
Comentario
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- No hace falta verificar con la calculadora en realidad. [math]n+3 | 16 \iff n+3 | 16 + (n+3)(n-3) = n^2 + 7 (ya que los restos se suman y como el resto de [math](n+3)(n-3) es [math]0, el resto de [math]16 y [math]n^2 + 7 será el mismo. Entonces para todo valor de [math]n tal que [math]n+3 | 16, se tendrá que [math]n+3 | n^2 + 7
Re: Provincial 2001 N3 P1
Publicado: Lun 06 Abr, 2020 1:38 am
por NPCPepe
En realidad se puede sin diferencia de cuadrados
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- Si $k=n+3$, $\frac{n^2+7}{n+3}=\frac{(k-3)^2+7}{k}=\frac{k^2+6k+9+7}{k}=\frac{k^2+6k+16}{k}$
entonces $16$ divide a $k$, $k=[-16, -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8, 16]$ $n=[-19, -11, -7, -5, -4, -3, -1, 1, 5, 13]$
Re: Provincial 2001 N3 P1
Publicado: Mié 27 Dic, 2023 11:46 pm
por drynshock
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-
$n + 3 | n^2 + 7$
$n + 3 | n^2 + 7 - (n+3)^2$
$n + 3 | n^2 + 7 - n^2 - 9 - 6n$
$n + 3 | 6n + 2$
$n + 3 | 6n + 2 - 6n - 18$
$n + 3 | 16$
Acá te pones a ver los divisores de 16 y listo.