Provincial 2001 N3 P1

[Gianni De Rico]

Hallar todos los números enteros $n$ tales que $\dfrac{n^2+7}{n+3}$ es también un número entero.

[Gianni De Rico]

Spoiler: mostrar

La condición del enunciado puede reescribirse como:
[math]n+3|n^2+7

Además:
[math]n+3|(n+3)(n-3)=n^2-9

Entonces:
[math]n+3|n^2+7-(n^2-9)=n^2+7-n^2+9=16

Por lo tanto, los únicos valores que puede tomar [math]n+3 son:
[math]\bullet n+3=-16\Rightarrow n=-16-3=-19
[math]\bullet n+3=-8\Rightarrow n=-8-3=-11
[math]\bullet n+3=-4\Rightarrow n=-4-3=-7
[math]\bullet n+3=-2\Rightarrow n=-2-3=-5
[math]\bullet n+3=-1\Rightarrow n=-1-3=-4
[math]\bullet n+3=1\Rightarrow n=1-3=-2
[math]\bullet n+3=2\Rightarrow n=2-3=-1
[math]\bullet n+3=4\Rightarrow n=4-3=1
[math]\bullet n+3=8\Rightarrow n=8-3=5
[math]\bullet n+3=16\Rightarrow n=16-3=13

Comprobando con la calculadora vemos que todos funcionan.

[sebach]

Comentario

Spoiler: mostrar

No hace falta verificar con la calculadora en realidad. [math]n+3 | 16 \iff n+3 | 16 + (n+3)(n-3) = n^2 + 7 (ya que los restos se suman y como el resto de [math](n+3)(n-3) es [math]0, el resto de [math]16 y [math]n^2 + 7 será el mismo. Entonces para todo valor de [math]n tal que [math]n+3 | 16, se tendrá que [math]n+3 | n^2 + 7

[NPCPepe]

En realidad se puede sin diferencia de cuadrados

Spoiler: mostrar

Si $k=n+3$, $\frac{n^2+7}{n+3}=\frac{(k-3)^2+7}{k}=\frac{k^2+6k+9+7}{k}=\frac{k^2+6k+16}{k}$
entonces $16$ divide a $k$, $k=[-16, -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8, 16]$ $n=[-19, -11, -7, -5, -4, -3, -1, 1, 5, 13]$

[drynshock]

Spoiler: mostrar

$n + 3 | n^2 + 7$

$n + 3 | n^2 + 7 - (n+3)^2$

$n + 3 | n^2 + 7 - n^2 - 9 - 6n$

$n + 3 | 6n + 2$

$n + 3 | 6n + 2 - 6n - 18$

$n + 3 | 16$

Acá te pones a ver los divisores de 16 y listo.