Provincial 2001 N3 P2

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Gianni De Rico

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Provincial 2001 N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 08 Ago, 2017 11:37 pm

Se suman los cubos de los [math] primeros números naturales:
[math]
Determinar cuál es el resto de la división de esta suma por [math].
[math]

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Gianni De Rico

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Re: Provincial 2001 N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 08 Ago, 2017 11:47 pm

Spoiler: mostrar
Vamos a calcular los residuos cúbicos en módulo [math]:
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]

Entonces cada [math] números consecutivos, la suma de sus cubos tiene resto [math] módulo [math].

Como [math], tenemos [math] grupos de números consecutivos cuyos cubos sumarán [math] en módulo [math], el [math] y el [math]. Queremos ver los restos de [math] y [math] en módulo [math], pero como [math], entonces [math] y [math].

Luego [math]

Por lo tanto [math]
1  
[math]

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Gianni De Rico

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Re: Provincial 2001 N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 09 Ago, 2017 12:59 am

Otra forma sería
Spoiler: mostrar
Usando que [math], tenemos [math]

Viendo la congruencia módulo [math]:
[math]
1  
[math]

Nowhereman

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Re: Provincial 2001 N3 P2

Mensaje sin leer por Nowhereman » Mié 09 Ago, 2017 6:36 am

Spoiler: mostrar
Es fácil demostrar que [math]

Agrupando los términos de a siete y viendo que [math]:

[math]
[math]

y ya esta. Dio la casualidad de que 98 tenia dos sietes en su factorizacion por eso se pudo hacer lo que hice

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JPablo
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Re: Provincial 2001 N3 P2

Mensaje sin leer por JPablo » Mié 09 Ago, 2017 8:19 pm

1  

Daniz3
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Re: Provincial 2001 N3 P2

Mensaje sin leer por Daniz3 » Mié 13 Sep, 2017 8:57 pm

bonito problema.

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