Provincial 2001 N3 P2

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UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Mar 08 Ago, 2017 11:37 pm

Se suman los cubos de los $100$ primeros números naturales:

$1^3+2^3+3^3+\ldots +100^3$


Determinar cuál es el resto de la división de esta suma por $7$.
$e^{i\pi}+1=0$
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Re: Provincial 2001 N3 P2

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Mar 08 Ago, 2017 11:47 pm

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Vamos a calcular los residuos cúbicos en módulo $7$:
$1^3=1\equiv 1(7)$
$2^3=8\equiv 1(7)$
$3^3=27\equiv -1(7)$
$4^3=64\equiv 1(7)$
$5^3=125\equiv -1(7)$
$6^3=216\equiv -1(7)$
$0^3=0\equiv 0(7)$

Entonces cada $7$ números consecutivos, la suma de sus cubos tiene resto $0$ módulo $7$.

Como $7\times 14=98$, tenemos $14$ grupos de números consecutivos cuyos cubos sumarán $0$ en módulo $7$, el $99$ y el $100$. Queremos ver los restos de $99^3$ y $100^3$ en módulo $7$, pero como $98\equiv 0(7)$, entonces $99\equiv 1(7)\Rightarrow 99^3\equiv 1(7)$ y $100\equiv 2(7)\Rightarrow 100^3\equiv 1(7)$.

Luego $\sum_{k=1}^{100} k^3\equiv 99^3+100^3+\sum_{k=1}^{98} k^3\equiv 1+1+0\equiv 2(7)$

Por lo tanto $\sum_{k=1}^{100} k^3\equiv 2(7)$
$e^{i\pi}+1=0$

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Re: Provincial 2001 N3 P2

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Mié 09 Ago, 2017 12:59 am

Otra forma sería
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Usando que $\sum_{k=1}^n k^3=\left (\sum_{k=1}^n k\right )^2$, tenemos $\sum_{k=1}^{100} k^3=\left (\sum_{k=1}^{100} k\right )^2=\left (99+100+\sum_{k=1}^{98} k\right )^2=(99+100+\frac{98\times 99}{2})^2$

Viendo la congruencia módulo $7$:
$(99+100+\frac{98\times 99}{2})^2\equiv (99+100+49\times 99)^2\equiv (1+2+0)^2\equiv 3^2\equiv 9\equiv 2(7)$
$e^{i\pi}+1=0$

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Re: Provincial 2001 N3 P2

UNREAD_POSTpor Nowhereman » Mié 09 Ago, 2017 6:36 am

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Es fácil demostrar que $(x+7k)^3\equiv x^3\pmod{7}$

Agrupando los términos de a siete y viendo que $100=14*7+2$:

$s=(1^3+...+7^3)+(8^3+...14^3)+...(91^3+...+98^3)+99^3+100^3$
$s\equiv 14(1^3+...+7^3)+1^3+1^3\equiv 2\pmod7$

y ya esta. Dio la casualidad de que 98 tenia dos sietes en su factorizacion por eso se pudo hacer lo que hice
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Re: Provincial 2001 N3 P2

UNREAD_POSTpor JPablo » Mié 09 Ago, 2017 8:19 pm


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