7,8,10 ONEM 2015 E2 N3

[Max]

7,8,10 ONEM 2015 E2 N3

[¿hola?]

7)

Spoiler: mostrar

caso [math]y=2k+1
veamos que los residuos cuadráticos modulo [math]5 son [math]-1 o [math]1 así que el primer miembro es congruente con [math]1 o [math]-1 modulo [math]5 y el miembro derecho es un cuadrado por [math]3 osea que es congruente con [math]3 o [math]-3 modulo [math]5 que contradice lo anterior.
caso [math]y=2k
pasando el [math]x^2 tenemos que el lado derecho es [math](3^k . 2^z)^2 - x^2 haciendo diferencia de cuadrados y llamando [math]a= 3^k . 2^z tenemos
[math]2015=(a-x)(a+x)=5.13.31 es fácil ver que [math]a-x es el que menos factores primos tiene.Ahora probemos los casitos y veamos cuando [math]a solo tiene factores primos [math]2 o [math]3.
[math]a-x=1 ; a+x=2015 lo que implica [math]a=1008 que es múltiplo de [math]7.
[math]a-x=5 ; a+x=403 lo que implica [math]a=204 que es múltiplo de [math]17.
[math]a-x=13 ; a+x=155 lo que implica [math]a=84 que es múltiplo de [math]7.
[math]a-x=31 ; a+x=65 lo que implica [math]a=48 que cumple y la solución es [math]x=17, y=2, z=4 .

[Gianni De Rico]

8) Te dejo las ideas, no voy a hacer las cuentas ahora. Seguro hay una solución sin trigonometría, pero esta lo mata rápido.

Spoiler: mostrar

Como la distancia de un punto a una recta se mide perpendicular, entonces la altura desde [math]C en [math]\triangle DCE mide [math]5, por ser isósceles también es mediatriz de [math]DE. Usando Pitágoras averiguás [math]CE, y con un poquito de trigonometría en el triángulo rectángulo averiguás [math]C\widehat DE, como [math]\triangle DCE es isósceles en [math]C, ya podés averiguar todos sus ángulos.

Como [math]\triangle BCD es isósceles en [math]C y [math]B\widehat CE=D\widehat CE+90°, podés averiguar [math]C\widehat BE y por lo tanto sabés también [math]E\widehat BA. Ahora [math]E\widehat FA=180°-E\widehat BA por cíclicos, y [math]F\widehat DA=180°-90°-C\widehat DE=90°-C\widehat DE.
De forma que averiguaste dos ángulos de [math]\triangle FDA y por lo tanto también el tercero.

Ahora la parte con trigonometría:
Como sabés los ángulos y uno de los lados,
podés usar el Teorema del Coseno para establecer un sistema de ecuaciones y averiguar los lados del [math]\triangle FDA, en particular podés saber [math]FD, multiplicás ese valor por [math]12 y listo.

[¿hola?]

Pero como sabes el arcoseno del inverso multiplicativo de la raiz cuadrada de 26

[Gianni De Rico]

¿Qué hiciste para llegar a eso? Solamente tenés que hacer un sistema de ecuaciones con el Teorema del Coseno, despejás una variable en función de la otra y te queda una ecuación con una sola incógnita.

Usando la notación de la página que pasé, sería:
[math]a=AD
[math]b=DF
[math]c=FA

Spoiler: mostrar

[math]b^2=a^2+a^2+b^2-2ab\times cos(C)-2a\sqrt{a^2+b^2-2ab\times cos(C)}\times cos(B)
[math]2a^2-2ab\times cos(C)=2a\sqrt{a^2+b^2-2ab\times cos(C)}\times cos(B) Dividiendo por [math]2a
[math]a-b\times cos(C)=\sqrt{a^2+b^2-2ab\times cos(C)}\times cos(B)
[math]\sqrt{26}-b\times cos(C)=\sqrt{26+b^2-2\sqrt{26}\times b\times cos(C)}\times cos(B) Elevando al cuadrado
[math]26-26b\times cos(C)+b^2\times cos^2(C)=26+b^2-2\sqrt{26}\times b\times cos(C)\times cos^2(B)

Como conocés los valores de los ángulos, conocés sus cosenos, reacomodás, resolvés la cuadrática y listo.