5,7,8 ONEM 2014 F2 N3

Max
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5,7,8 ONEM 2014 F2 N3

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Gianni De Rico

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Re: 5,7,8 ONEM 2014 F2 N3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

5)
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Trabajando la ecuación te queda:
$x^4-10x^3+35x^2-50x+24=-1$

Ahora $-10x^3$ se puede escribir como $-2\times x^2\times 5x$, y eso nos da una idea de que puede haber un trinomio cuadrado perfecto con $x^2$ y $-5x$, si probamos resulta $(x^2-5x)^2=x^4-10x^3+25x^2$, igualando queda:
$(x^2-5x)^2+10x^2-50x+24=-1$

Sacando factor común $10$:
$(x^2-5x)^2+10(x^2-5x)+24=-1$

Pasamos el $-1$ sumando:
$(x^2-5x)^2+10(x^2-5x)+25=0$

Esto es una cuadrática en $x^2-5x$, la resolvemos con la fórmula cuadrática y queda:
$x^2-5x=\frac{-10\pm \sqrt{10^2-4\times 1\times 25}}{2\times 1}=\frac{-10\pm \sqrt{100-100}}{2}=\frac{-10}{2}=-5$

Entonces $x^2-5x=-5\Rightarrow x^2-5x+5=0$, que vuelve a ser una cuadrática, aplicando otra vez la fórmula:
$x=\frac{5\pm \sqrt{(-5)^2-4\times 1\times 5}}{2\times 1}=\frac{5\pm \sqrt{25-20}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{5}}{2}$

Por lo tanto, los únicos valores posibles de $x$ son $x=\frac{5+\sqrt{5}}{2}=\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$ y $x=\frac{5-\sqrt{5}}{2}=\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$. Es decir que esas son las dos únicas raíces de la ecuación. Si las sumamos resulta:
$r+R=\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=2\times \frac{5}{2}=5$

Por lo tanto:
$r+R=5$
7)
Spoiler: mostrar
Veamos un ejemplo en el que hay $7$ cuadriláteros especiales:
F2 ONEM 2014 N3 P7.png
Este ejemplo se logra eligiendo los puntos $U$, $M$ y $E$ de forma que $M\widehat EU=135^\circ$. Prolongando $UE$ hasta su intersección con $BC$ obtenemos el punto $P$, prolongando $ME$ hasta su intersección con $CD$ obtenemos el punto $S$. Elegimos arbitrariamente los puntos $N$ y $Q$ (siempre dentro de su sector correspondiente) y trazamos las paralelas a $MS$ por $N$ y a $PU$ por $Q$, de esta forma, todos los ángulos marcados miden $135^\circ$.

Para ver que no hay más, notemos que ninguno de los ángulos con vértices en los lados del cuadrado puede medir $135^\circ$, ya que eso implicaría que su suplementario mide $45^\circ$ y por lo tanto la recta distinta del lado que define al ángulo es paralela a alguna de las diagonales del cuadrado, pero como las rectas están definidas por puntos en lados opuestos del cuadrado, intersectan a las dos diagonales, entonces no pueden ser paralelas; si midieran más de $135^\circ$, el suplementario sería menor que $45^\circ$ y entonces habría una diagonal a la que no intersecta. Por lo tanto, los únicos ángulos que pueden medir son los que tienen vértices interiores al cuadrado. Si quisiéramos hacer que otro de los cuadriláteros tuviera un ángulo mayor o igual a $135^\circ$, entonces ese ángulo tendría que ser el suplementario de uno de los de $135^\circ$, absurdo.

Por lo tanto, el máximo es $7$.
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♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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