3 y 4 en las ecuaciones

3 y 4 en las ecuaciones

UNREAD_POSTpor Pinga2005 » Dom 17 Sep, 2017 4:43 am

Sean $a$, $b$ dos enteros positivos tales que $3a^{2}+a=4b^{2} + b$.
Demuestre que $a-b$ es un cuadrado perfecto.
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Re: 3 y 4 en las ecuaciones

UNREAD_POSTpor JPablo » Dom 17 Sep, 2017 10:31 am

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Es claro que $a\neq b$, de lo contrario $0=b^2$, luego $a=b=0$, contra la hipótesis. Además $a>b$, o de lo contrario $0>a-b=4b^2-3a^2$, de donde $a^2>\frac{4}{3}b^2>b^2$, absurdo. Reescribimos la expresión del enunciado como $\left (a-b\right )\left (12a-12b+1\right )=\left (4b-3a\right )^2$. De aquí, como los cuadrados perfectos son no negativos y $a-b>0$ entonces $12a-12b+1>0$ (no puede ser $12a-12b+1=0$ pues de lo contrario $12\mid 1$).

Observemos que $a-b$ y $12a-12b+1$ son coprimos, ya que un divisor común entre ellos debe dividir a $\left (12a-12b+1\right )-12\left (a-b\right )=1$. Como su producto es un cuadrado perfecto, son coprimos y son ambos positivos, son cuadrados perfectos. $\blacksquare$

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Re: 3 y 4 en las ecuaciones

UNREAD_POSTpor Pinga2005 » Dom 17 Sep, 2017 11:03 am

Que linda y clara solución. Gracias JPablo! :)
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