Demostrar que si [math]ab=2^n-1 y [math]2^k es la potencia máxima de [math]2 tal que [math]2^k\mid 2^n-2+a-b, entonces [math]k es par. (Tenemos que [math]a,b,n son enteros positivos)
Última edición por Pinga2005 el Dom 01 Oct, 2017 12:43 pm, editado 1 vez en total.
Como [math]a.b=2^n-1 y [math]n es entero positivo, entonces claramente [math]a y [math]b son ambos enteros positivos impares,
por lo tanto los números [math]a-1 y [math]b+1 son ambos pares.
Digamos que [math]a-1=2^x.t donde [math]x es entero positivo y [math]t entero positivo impar.
Digamos que [math]b+1=2^y.m donde [math]y es entero positivo y [math]m entero positivo impar.
Como [math](a-1).(b+1)=2^n-2+a-b , el problema pide ver que la mayor potencia de [math]2 que divide a [math](a-1).(b+1) es PAR,
pero como [math](a-1).(b+1)=(2^x.t).(2^y.m)=2^{x+y}.(t.m) siendo el número [math]t.m entero positivo impar,
es claro que la mayor potencia de [math]2 que divide a [math](a-1).(b+1) es [math]x+y , que deberemos probar que es PAR
Para esto probaremos que [math]x=y ya que en ese caso tendremos que [math]x+y=PAR [math]2^n-1=a.b=(2^x.t+1).(2^y.m-1)=2^{x+y}.(t.m)-2^x.t+2^y.m-1 [math]\Rightarrow 2^n=2^{x+y}.(t.m)-2^x.t+2^y.m[math](*)
▄ Supongamos que [math]x<y entonces por [math](*) tenemos que [math]2^n=2^x.(2^y.t.m-t+2^{y-x}.m) donde el paréntesis es un entero positivo impar
y por lo tanto debe ser dicho paréntesis igual a [math]1 y ademas [math]n=x pero entonces [math]n<y \Rightarrow a.b=2^n-1< 2^y-1<2^y.m-1=b
Luego surge [math]a<1 (Absurdo)
▄ Supongamos que [math]y<x entonces por [math](*) tenemos que [math]2^n=2^y.(2^x.t.m-2^{x-y}.t+m) donde el paréntesis es un entero positivo impar
y por lo tanto debe ser dicho paréntesis igual a [math]1 y ademas [math]n=y pero entonces [math]n<x \Rightarrow a.b=2^n-1< 2^x-1<2^x.t-1<2^x.t+1=a
Luego surge [math]b<1 (Absurdo)
Concluimos que [math]x=y y el problema queda resuelto!!