El cuadrado y los primos

El cuadrado y los primos

UNREAD_POSTpor Pinga2005 » Mar 10 Oct, 2017 11:30 am

Encontrar todos los números naturales $n$ tales que

$n^2=p^5+4p+1$

con $p$ primo.

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Pinga2005
 
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Re: El cuadrado y los primos

UNREAD_POSTpor Mijail » Mié 11 Oct, 2017 10:06 pm

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Si consideranos en modulo 9 la expresion;
Lo gramos obtener que para que la expresion sea un cuadrado p necesariamente es multiplo de 3 entonces p es igual a 3

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Re: El cuadrado y los primos

UNREAD_POSTpor DiegoLedesma » Jue 12 Oct, 2017 12:17 am

En 1º lugar, verificamos si $p=2$ es solución: $n^{2}=32+8+1=41$ (que no es solución, pues 41 no es cuadrado perfecto)
Si p es impar, puede suceder que dicho múmero termine...
* En 3 $\Rightarrow$ $p^{5}$ termina en 3, y $4p$ termina en 2
* En 5 $\Rightarrow$ $p^{5}$ termina en 5, y $4p$ termina en 0
* En 7 $\Rightarrow$ $p^{5}$ termina en 7, y $4p$ termina en 8
* En 9 $\Rightarrow$ $p^{5}$ termina en 9, y $4p$ termina en 6
Luego, en todos estos casos se cumple que $n^{2}-1$ $\equiv$ $0 (mod \; 5)$
Además, en la ecuación $n^{2}-1=p^{5}+4p\equiv 0 (mod\;5)$ factorizamos el 2º miembro, obteniendo:
$p(p^{4}+4)=p(p^{2}+2p+2)(p^{2}-2p+2)\equiv 0 (mod\;5)$
Entonces, al menos uno de estos factores será igual a 5. Tenemos entonces 3 posibilidades:
a) $p=5$
b) $p^{2}+2p+2=5$ $\Rightarrow$ $p^{2}+2p-3=0$ $\Rightarrow$ $p_{1}=1(no\;  es\;  primo)$; $\;p_{2}=-3$
c) $p^{2}-2p+2=5$ $\Rightarrow$ $p^{2}-2p-3=0$ $\Rightarrow$ $p_{1}=3$; $\;p_{2}=-1$
Ahora sólo nos queda probar si funcionan los valores posibles que obtuvimos:
* Siendo $p=3$ $\Rightarrow$ $n^{2}=3^{5}+4.3+1=256$ $\Rightarrow n=16$
*Siendo $p=5$ $\Rightarrow$ $n^{2}=5^{5}+4.5+1=3146$ (no es cuadrado perfecto)
$\therefore$ La única solución es $n=16$ (que la obtenemos al ser $p=3$)
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DiegoLedesma
 
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Re: El cuadrado y los primos

UNREAD_POSTpor Dauphineg » Jue 12 Oct, 2017 5:39 pm

DiegoLedesma escribió:En 1º lugar, verificamos si $p=2$ es solución: $n^{2}=32+8+1=41$ (que no es solución, pues 41 no es cuadrado perfecto)
Si p es impar, puede suceder que dicho múmero termine...
* En 3 $\Rightarrow$ $p^{5}$ termina en 3, y $4p$ termina en 2
* En 5 $\Rightarrow$ $p^{5}$ termina en 5, y $4p$ termina en 0
* En 7 $\Rightarrow$ $p^{5}$ termina en 7, y $4p$ termina en 8
* En 9 $\Rightarrow$ $p^{5}$ termina en 9, y $4p$ termina en 6
Luego, en todos estos casos se cumple que $n^{2}-1$ $\equiv$ $0 (mod \; 5)$
Además, en la ecuación $n^{2}-1=p^{5}+4p\equiv 0 (mod\;5)$ factorizamos el 2º miembro, obteniendo:
$p(p^{4}+4)=p(p^{2}+2p+2)(p^{2}-2p+2)\equiv 0 (mod\;5)$
Entonces, al menos uno de estos factores será igual a 5. Tenemos entonces 3 posibilidades:
a) $p=5$
b) $p^{2}+2p+2=5$ $\Rightarrow$ $p^{2}+2p-3=0$ $\Rightarrow$ $p_{1}=1(no\;  es\;  primo)$; $\;p_{2}=-3$
c) $p^{2}-2p+2=5$ $\Rightarrow$ $p^{2}-2p-3=0$ $\Rightarrow$ $p_{1}=3$; $\;p_{2}=-1$
Ahora sólo nos queda probar si funcionan los valores posibles que obtuvimos:
* Siendo $p=3$ $\Rightarrow$ $n^{2}=3^{5}+4.3+1=256$ $\Rightarrow n=16$
*Siendo $p=5$ $\Rightarrow$ $n^{2}=5^{5}+4.5+1=3146$ (no es cuadrado perfecto)
$\therefore$ La única solución es $n=16$ (que la obtenemos al ser $p=3$)

$p(p^{4}+4)=p(p^{2}+2p+2)(p^{2}-2p+2)\equiv 0 (mod\;5)$
Entonces, al menos uno de estos factores será igual a 5.
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