Un número "brock" es un número entero positivo cuyos dígitos son, alternativamente, cero y no cero. Por ejemplo, [math]201. Con el último dígito distinto de [math]0. Encuentra todos los enteros que no dividen ningún número "brock".
caso n múltiplo de 10
Es claro que [math]n es múltiplo de [math]10 por lo que los últimos dígitos de sus múltiplos son [math]0 y contradice la definición de numero [math]brock
caso n coprimo con 10
demostraremos que las potencias de 10 tienen un ciclo de congruencias modulo [math]n de la forma... [math]1,a_2,a_3,....,a_x,1...
si esto no pasara entonces no hay ningún [math]y tal que [math]10^y sea congruente con 1 modulo [math]n. entonces tomamos dos potencias de [math]10 con mismo resto modulo [math]n [math]b \equiv b 10^y (n) como [math]b y [math]n son coprimos entonces [math]10^y \equiv 1 (n) lo que es absurdo.
sea [math]x la cantidad de elementos de este ciclo.
si [math]x es inpar.
escribimos el numero [math]F=0101010...1 con [math]x+1 dígitos [math]F si ponemos [math]n numeros [math]F juntos y ese numero es [math]H entonces [math]H \equiv kn (n) porque cuando ponemos "uno al lado del otro" lo que hacemos es multiplicar por [math]10^{(x+1)m} que tiene resto [math]1 en división por [math]n, lo que implica que [math]H es divisible por [math]n
entonces ningún [math]n cumple.
si [math]x es par.
escribimos el numero [math]F=101010...1 con [math]x+1 dígitos, si ponemos [math]2n numeros [math]F separados por un cero cada uno y ese numero es [math]H=F,0...0,F,
y como la mitad da las F tienen resto [math]k y la otra mitad tienen resto [math]j las suma sera [math]H \equiv (k+1)n+(j+1)n (n), lo que implica que [math]H es divisible por [math]n
entonces ningún [math]n cumple.
caso n múltiplo de 5 (no de 2)
[math]n= 5^p k
Si [math]p=1
para esto ponemos para [math]k el numero [math]H del caso anterior y multiplicamos ambos por [math]5 y nos queda el numero [math]5H que claramente es divisible por [math]n
Si [math]p mayor a [math]1
[math]n es múltiplo de 25 lo que implica que sus dos últimos dígitos son [math]00 ; 25 ; 50 ; 75 y ninguna de esas terminaciones pueden pertenecer a un numero [math]brock
caso de n múltiplo de 2 (no de 5) [math]n= 2^p k
Vamos a demostrar por inducción que para [math]2^p existen múltiplos [math]brock
si tenemos un numero, [math]brock, de [math]p dígitos, múltiplo de [math]2^{p+1} entonces demostraremos que existe un numero [math]brock de [math]p+2 dígitos múltiplo de [math]2^{p+3}.
CASO BASE: p=1 entonces el numero es 4.
PASO INDUCTUVO: sea [math]a el nuevo dígito que agrego ademas de un cero (2 dígitos más).
[math]a 10^{p+1} + m 2^{p+1} \equiv 0 (2^p+3)
entonces...
[math]a 5^{p+1} + m \equiv 0 (4) lo que implica [math]a + m \equiv 0 (4) y claramente existe un dígito [math]a que cumple esto.
por el criterio de divisibilidad de [math]2^p este numero sera múltiplo de [math]2^p aunque le agregue dígitos, ya que solo importan lo últimos [math]p dígitos entonces agregamos unos y ceros hasta tener un numero de [math](x+1)m dígitos (con [math]x la cantidad de posibles congruencias de potencias de [math]10 modulo [math]k ) y este numero lo ponemos "uno al lado del otro" [math]n veces (o [math]2n veces, depende la pridad como en el caso 1) este nuevo numero sera multiplo de [math]2^p y de [math]k.
Los únicos numeros que cumplen son los múltiplos de [math]10 y los de [math]25
