Número "brock"

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Pinga2005
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Número "brock"

Mensaje sin leer por Pinga2005 » Sab 14 Oct, 2017 1:47 pm

Un número "brock" es un número entero positivo cuyos dígitos son, alternativamente, cero y no cero. Por ejemplo, [math]. Con el último dígito distinto de [math]. Encuentra todos los enteros que no dividen ningún número "brock".

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¿hola?

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Re: Número "brock"

Mensaje sin leer por ¿hola? » Jue 19 Oct, 2017 4:14 pm

capaz no se entiente nada y/o flashee cualquiera.
Spoiler: mostrar
caso n múltiplo de 10
Es claro que [math] es múltiplo de [math] por lo que los últimos dígitos de sus múltiplos son [math] y contradice la definición de numero [math]

caso n coprimo con 10
demostraremos que las potencias de 10 tienen un ciclo de congruencias modulo [math] de la forma... [math]

si esto no pasara entonces no hay ningún [math] tal que [math] sea congruente con 1 modulo [math]. entonces tomamos dos potencias de [math] con mismo resto modulo [math]
[math] como [math] y [math] son coprimos entonces [math] lo que es absurdo.
sea [math] la cantidad de elementos de este ciclo.

si [math] es inpar.

escribimos el numero [math] con [math] dígitos [math] si ponemos [math] numeros [math] juntos y ese numero es [math] entonces [math] porque cuando ponemos "uno al lado del otro" lo que hacemos es multiplicar por [math] que tiene resto [math] en división por [math], lo que implica que [math] es divisible por [math]
entonces ningún [math] cumple.

si [math] es par.

escribimos el numero [math] con [math] dígitos, si ponemos [math] numeros [math] separados por un cero cada uno y ese numero es [math]
y como la mitad da las F tienen resto [math] y la otra mitad tienen resto [math] las suma sera [math], lo que implica que [math] es divisible por [math]
entonces ningún [math] cumple.

caso n múltiplo de 5 (no de 2)

[math]

Si [math]

para esto ponemos para [math] el numero [math] del caso anterior y multiplicamos ambos por [math] y nos queda el numero [math] que claramente es divisible por [math]

Si [math] mayor a [math]

[math] es múltiplo de 25 lo que implica que sus dos últimos dígitos son [math] y ninguna de esas terminaciones pueden pertenecer a un numero [math]

caso de n múltiplo de 2 (no de 5)
[math]

Vamos a demostrar por inducción que para [math] existen múltiplos [math]
si tenemos un numero, [math], de [math] dígitos, múltiplo de [math] entonces demostraremos que existe un numero [math] de [math] dígitos múltiplo de [math].

CASO BASE: p=1 entonces el numero es 4.

PASO INDUCTUVO: sea [math] el nuevo dígito que agrego ademas de un cero (2 dígitos más).

[math]

entonces...

[math] lo que implica [math] y claramente existe un dígito [math] que cumple esto.

por el criterio de divisibilidad de [math] este numero sera múltiplo de [math] aunque le agregue dígitos, ya que solo importan lo últimos [math] dígitos entonces agregamos unos y ceros hasta tener un numero de [math] dígitos (con [math] la cantidad de posibles congruencias de potencias de [math] modulo [math] ) y este numero lo ponemos "uno al lado del otro" [math] veces (o [math] veces, depende la pridad como en el caso 1) este nuevo numero sera multiplo de [math] y de [math].

Los únicos numeros que cumplen son los múltiplos de [math] y los de [math]
1  
Yes, he who

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Pinga2005
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Re: Número "brock"

Mensaje sin leer por Pinga2005 » Dom 22 Oct, 2017 5:49 am

No he comprendido bien... pero gracias! :)
¿Alguién puedes publicar otra solucion?
gracias

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