Nacional 2007 N3 P4

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Gianni De Rico

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Nacional 2007 N3 P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 06 Nov, 2017 11:10 am

Se dan [math] números reales [math] , y se forman las [math] sumas de dos de estos números [math], [math]. Se sabe que no todas estas sumas son números enteros. Determinar el mínimo valor de [math] tal que es posible que entre las [math] sumas haya [math] que no son números enteros y [math] que son números enteros.
[math]

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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2007 N3 P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 06 Nov, 2017 11:11 am

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Se define la mantisa de un número como [math], siempre se cumple que [math]

Tenemos [math] casos:

Caso [math]: Existen dos números [math] y [math], con [math] tales que [math] y [math] no es entero
Spoiler: mostrar
Entonces para cada [math] con [math] y [math], resulta que al menos uno de entre [math] y [math] no es entero. Supongamos que ambos son enteros, su resta es entera, pero dicha resta es [math], como la resta de las partes enteras es un número entero, entonces [math] es entero. Pero [math], por lo tanto [math]. Absurdo, ya que habíamos dicho que [math]

El absurdo provino de suponer que ambos números [math] y [math] eran enteros, entonces, al menos uno de ellos no es entero.

Como hay [math] posibles [math], tenemos que hay al menos [math] sumas no enteras, como además [math] no es entero, entonces hay al menos [math] sumas no enteras.
Caso [math]: Para cada par [math], o bien [math] o [math] es entero
Spoiler: mostrar
Sea [math], si [math] es entero, entonces [math], sino [math]. Por lo tanto los números tienen sólo dos mantisas posibles.

Sabemos que hay alguna suma no entera, y que esta no puede ser de dos números con mantisas distintas. Entonces, o bien [math] es entero, o [math] no es entero. Pero si [math] no es entero, entonces [math] no es entero, ya que [math] es entero. Análogamente, si [math] no es entero, entonces [math] no es entero. Como sabíamos que alguno de los dos no es entero, resulta que ambos son no enteros.

Sea [math] la cantidad de números tales que [math], la cantidad de sumas de la forma [math] con [math] entero es [math]. Y la cantidad de sumas de la forma [math] con [math] entero es [math]. El resto de las sumas son entre dos números con mantisas distintas, y por lo tanto son enteras.

Se sigue que la cantidad de sumas no enteras es [math]

Como el coeficiente principal de esta cuadrática es positivo, la parábola es cóncava hacia arriba y la función alcanza su mínimo en [math]. Evaluando en [math] obtenemos [math]
Entonces [math]

Se sigue que la cantidad de sumas no enteras el al menos [math]
Habiendo visto los dos casos, resulta que la cantidad de sumas no enteras es al menos [math], un ejemplo es [math], hay [math] sumas iguales a [math] y las otras [math] iguales a [math].
[math]

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3,14

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Re: Nacional 2007 N3 P4

Mensaje sin leer por 3,14 » Lun 06 Nov, 2017 8:51 pm

[math]

Roma1417
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Re: Nacional 2007 N3 P4

Mensaje sin leer por Roma1417 » Mar 07 Nov, 2017 5:40 pm

Spoiler: mostrar
Como dice el enunciado, hay sumas que dan resultados no enteros, eso quiere decir que al menos uno de los diez numeros escritos no es entero. Suponiendo que contamos con nueve numeros enteros y uno no entero, como cada numero realiza una suma con los nueve restantes, habran como minimo nueve resultados no enteros. Tambien se llega al mismo resultado si se trata de un numero entero y nueve numeros 1<(2Z+1)÷2<10

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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2007 N3 P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 07 Nov, 2017 9:19 pm

Roma1417 escribió:
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Como dice el enunciado, hay sumas que dan resultados no enteros, eso quiere decir que al menos uno de los diez numeros escritos no es entero. Suponiendo que contamos con nueve numeros enteros y uno no entero, como cada numero realiza una suma con los nueve restantes, habran como minimo nueve resultados no enteros. Tambien se llega al mismo resultado si se trata de un numero entero y nueve numeros 1<(2Z+1)÷2<10
Está muy bien que te des cuenta de eso. Pero eso es sólo un caso. ¿Cómo podés garantizar que no hay una forma de elegir los números de forma que haya menos sumas no enteras?
[math]

Roma1417
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Re: Nacional 2007 N3 P4

Mensaje sin leer por Roma1417 » Sab 11 Nov, 2017 9:42 pm

Spoiler: mostrar
Dividamos los números en dos grupos, uno de enteros positivos y otro de racionales positivos no enteros. Para empezar, el segundo grupo debe estar compuesto de números que terminen en ",5", así, sumas entre números de este grupo darán soluciones enteras.
A partir de acá, podemos razonar la cantidad de soluciones no enteras que surgen por la suma entre un numero de cada grupo, entonces:
Si uno de los dos grupos tiene un número y el otro nueve: Hay 9*1=9 soluciones no enteras
Si uno de los dos grupos tiene dos números y el otro ocho: Hay 2*8=16 soluciones no enteras
Si uno de los dos grupos tiene tres números y el otro siete: Hay 3*7=21 soluciones no enteras
Si uno de los dos grupos tiene cuatro números y el otro seis: Hay 4*6=24 soluciones no enteras
Si ambos grupos tienen cinco números: Hay 5*5=25 soluciones no enteras.
Por ende, el mínimo numero de soluciones no enteras será 9

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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2007 N3 P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 11 Nov, 2017 11:38 pm

Otra vez, está bien la idea y el ejemplo que das de cómo alcanzar el mínimo. Sin embargo, el problema en tu razonamiento es que no estás considerando todos los casos posibles. Podría pasar que exista un ejemplo rebuscado en el que sólo haya [math] sumas enteras, y ahí todo tu razonamiento queda anulado. Lo que pasa es que vos estás viendo nada más los casos "normales" para las personas, pero eso no demuestra que eligiendo números que difieran, ponele, en los dígitos en la posición [math] después de la coma no puede haber menos de [math] sumas no enteras. Entonces, tendrías que mostrarme por qué sin importar los números que yo elija nunca voy a poder lograr menos de [math] sumas no enteras.
Spoiler: mostrar
Por ejemplo, si en tu demostración yo digo "En un grupo ponemos todos números que terminen en [math] y en el otro ponemos todos números que terminen en [math]", vamos a tener que las sumas enteras son sólo las que usan números de grupos distintos.

Si hay [math] número en un grupo y [math] en el otro, hay [math] sumas enteras, entonces hay [math] sumas no enteras.
Si hay [math] números en un grupo y [math] en el otro, hay [math] sumas enteras, entonces hay [math] sumas no enteras.
Si hay [math] números en un grupo y [math] en el otro, hay [math] sumas enteras, entonces hay [math] sumas no enteras.
Si hay [math] números en un grupo y [math] en el otro, hay [math] sumas enteras, entonces hay [math] sumas no enteras.
Si hay [math] números en un grupo y [math] en el otro, hay [math] sumas enteras, entonces hay [math] sumas no enteras.

Por ende, el mínimo número de soluciones no enteras será [math].
Ahora, esto es claramente falso, ya que hay un ejemplo tuyo en el que se obtienen sólo [math] sumas no enteras. Entonces, si pasa eso con éste ejemplo ¿Por qué no podría existir un ejemplo con menos de [math] sumas no enteras?
[math]

Roma1417
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Re: Nacional 2007 N3 P4

Mensaje sin leer por Roma1417 » Dom 12 Nov, 2017 3:30 am

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Bueno, mi ejemplo ya esta dado, ahora voy a descartar la posibilidad de que sean otros diversos tipos de formas.
En primer lugar, no puede tratarse de 3 o mas tipos de grupos que terminen en decimales distintos (Incluido el ,0 , que seria el grupo de enteros), ya que no hay forma de que un grupo dé, en tres (o mas) casos distintos, soluciones enteras sumando distintos números de distintos grupos (Solo la suma con los números de un grupo (Puede ser el mismo) podrían llegar dar una respuesta entera)
Una vez descartado esto, nos quedarían dos grupos. Llamaremos a estos grupos A y B
Las posibilidades son:
1- Tanto a+a y b+b dan soluciones enteras, por lo que a+b NO daría solucion entera.
2- Tanto a+a y b+b NO dan soluciones enteras, pero a+b da solución entera.
3- a+a da solución entera, pero b+b no y, por ende, a+b tampoco.
4- Ni a+a, ni b+b, ni a+b dan soluciones enteras.

En primer lugar, el ejemplo 4 queda automáticamente descartado ya que todas sus soluciones serian no enteras. El ejemplo 3 también se puede descartar ya que si o si va a tener mas soluciones no enteras que el 1.
Ahora bien, restarían los ejemplos 1 y 2, la única forma de que funcionara el ejemplo 1 es que los números de un grupo sean enteros y los del otro tengan como decimal el 5. En este caso, el mínimo de resultados no enteros es 9. (El caso 3 tambien da como respuesta 9 si un grupo tiene numeros enteros y el otro tiene cualquier decimal 5, pero a su vez este grupo esta compuesto por un solo numero. A diferencia de este, en el ejemplo 1 tambien se da cuando esta compuesto por 9 numeros)
El ejemplo 2 funciona si a+b da resultados enteros, y el ejemplo es el que vos acabas de mostrar, donde el mínimo de soluciones enteras da 20.


Por ende, probando todas las posibilidades habidas y por haber, puedo reafirmar que la respuestas es 9

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