OMA Foros

Spoiler: mostrar

Sea $p_1^{e_1}p_2^{e_2}\ldots p_x^{e_x}$ la factorización en primos de $n$. Para contar la cantidad de divisores de $n$ que son potencias $k$-ésimas, hay que contar todos los posibles exponentes de los primos que sean múltiplos de $k$. Pero sabemos que la cantidad de múltiplos de $k$ hasta un número $a$ es $\left \lfloor \frac{a}{k}\right \rfloor +1$. Entonces, la cantidad de divisores de $n$ que sean potencias $k$-ésimas es $\prod_{i=1}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{k}\right \rfloor +1\right )$. Por lo tanto, el problema se puede reformular como sigue:
"Demostrar que existen naturales $e_1,e_2,\ldots ,e_x$ tales que $\prod_{i=1}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{2}\right \rfloor +1\right )=999\prod_{i=1}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{3}\right \rfloor +1\right )$"

Tomemos entonces $\left \lfloor \frac{e_1}{2}\right \rfloor +1=999$, es decir, $e_1=(999-1)\times 2=1996$, por ejemplo. Nos queda $\left \lfloor \frac{e_1}{3}\right \rfloor +1=666$, por lo tanto, lo que hay que demostrar se transforma en

$999\prod_{i=2}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{2}\right \rfloor +1\right )=999\times 666\prod_{i=2}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{3}\right \rfloor +1\right )$

o lo que es lo mismo

$\prod_{i=2}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{2}\right \rfloor +1\right )=666\prod_{i=2}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{3}\right \rfloor +1\right )$

Haciendo el mismo razonamiento con $\left \lfloor \frac{e_2}{2}\right \rfloor +1=666\Rightarrow e_2=1330$ llegamos a

$\prod_{i=3}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{2}\right \rfloor +1\right )=444\prod_{i=3}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{3}\right \rfloor +1\right )$

y así siguiendo podemos reducir cada vez más el valor por el que multiplicamos el productorio hasta que llega a $1$, y los exponentes nos quedan:

Spoiler: mostrar

$e_1=1996$
$e_2=1330$
$e_3=886$
$e_4=590$
$e_5=392$
$e_6=260$
$e_7=172$
$e_8=114$
$e_9=76$
$e_{10}=50$
$e_{11}=32$
$e_{12}=20$
$e_{13}=12$
$e_{14}=8$
$e_{15}=4$
$e_{16}=2$

Entonces, un número que cumple que $D_2(n)=999D_3(n)$ es

$n=2^{1996}\cdot 3^{1330}\cdot 5^{886}\cdot 7^{590}\cdot 11^{392}\cdot 13^{260}\cdot 17^{172}\cdot 19^{114}\cdot 23^{76}\cdot 29^{50}\cdot 31^{32}\cdot 37^{20}\cdot 41^{12}\cdot 43^8\cdot 47^4\cdot 53^2$

Spoiler: mostrar

Cualquier primo o cualquier producto de primos vale. Los dos lados dan 0.

Violeta escribió: ↑Vie 05 Ene, 2018 9:57 am Las soluciones triviales siguen siendo soluciones, ¿no?

Spoiler: mostrar

Cualquier primo o cualquier producto de primos vale. Los dos lados dan 0.

Heibor escribió: ↑Vie 05 Ene, 2018 10:28 am

Violeta escribió: ↑Vie 05 Ene, 2018 9:57 am Las soluciones triviales siguen siendo soluciones, ¿no?

Spoiler: mostrar

Cualquier primo o cualquier producto de primos vale. Los dos lados dan 0.

Pero entonces 1 es divisor, y es cuadrado y cubo.

Violeta escribió: ↑Vie 05 Ene, 2018 1:33 pm

Heibor escribió: ↑Vie 05 Ene, 2018 10:28 am

Violeta escribió: ↑Vie 05 Ene, 2018 9:57 am Las soluciones triviales siguen siendo soluciones, ¿no?

Spoiler: mostrar

Cualquier primo o cualquier producto de primos vale. Los dos lados dan 0.

Pero entonces 1 es divisor, y es cuadrado y cubo.

Gianni De Rico escribió: ↑Sab 23 Dic, 2017 10:58 am

Spoiler: mostrar

Sea $p_1^{e_1}p_2^{e_2}\ldots p_x^{e_x}$ la factorización en primos de $n$. Para contar la cantidad de divisores de $n$ que son potencias $k$-ésimas, hay que contar todos los posibles exponentes de los primos que sean múltiplos de $k$. Pero sabemos que la cantidad de múltiplos de $k$ hasta un número $a$ es $\left \lfloor \frac{a}{k}\right \rfloor +1$. Entonces, la cantidad de divisores de $n$ que sean potencias $k$-ésimas es $\prod_{i=1}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{k}\right \rfloor +1\right )$. Por lo tanto, el problema se puede reformular como sigue:
"Demostrar que existen naturales $e_1,e_2,\ldots ,e_x$ tales que $\prod_{i=1}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{2}\right \rfloor +1\right )=999\prod_{i=1}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{3}\right \rfloor +1\right )$"

Tomemos entonces $\left \lfloor \frac{e_1}{2}\right \rfloor +1=999$, es decir, $e_1=(999-1)\times 2=1996$, por ejemplo. Nos queda $\left \lfloor \frac{e_1}{3}\right \rfloor +1=666$, por lo tanto, lo que hay que demostrar se transforma en

$999\prod_{i=2}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{2}\right \rfloor +1\right )=999\times 666\prod_{i=2}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{3}\right \rfloor +1\right )$

o lo que es lo mismo

$\prod_{i=2}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{2}\right \rfloor +1\right )=666\prod_{i=2}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{3}\right \rfloor +1\right )$

Haciendo el mismo razonamiento con $\left \lfloor \frac{e_2}{2}\right \rfloor +1=666\Rightarrow e_2=1330$ llegamos a

$\prod_{i=3}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{2}\right \rfloor +1\right )=444\prod_{i=3}^x \left (\left \lfloor \frac{e_i}{3}\right \rfloor +1\right )$

y así siguiendo podemos reducir cada vez más el valor por el que multiplicamos el productorio hasta que llega a $1$, y los exponentes nos quedan:

Spoiler: mostrar

$e_1=1996$
$e_2=1330$
$e_3=886$
$e_4=590$
$e_5=392$
$e_6=260$
$e_7=172$
$e_8=114$
$e_9=76$
$e_{10}=50$
$e_{11}=32$
$e_{12}=20$
$e_{13}=12$
$e_{14}=8$
$e_{15}=4$
$e_{16}=2$

Entonces, un número que cumple que $D_2(n)=999D_3(n)$ es

$n=2^{1996}\cdot 3^{1330}\cdot 5^{886}\cdot 7^{590}\cdot 11^{392}\cdot 13^{260}\cdot 17^{172}\cdot 19^{114}\cdot 23^{76}\cdot 29^{50}\cdot 31^{32}\cdot 37^{20}\cdot 41^{12}\cdot 43^8\cdot 47^4\cdot 53^2$