Un número es rioplatense si cumple las siguientes condiciones:
El número es de tres dígitos.
Los tres dígitos son distintos.
Ninguno de los dígitos es $0$.
Alguno de los tres dígitos es igual a la cantidad de factores primos distintos que tiene el resultado de multiplicar los otros dos dígitos.
¿Cuántos números rioplatenses hay?
Nota:
El número $125=5^3$ tiene un factor primo, el $5$.
El número $200=2\cdot 5^2$ tiene dos factores primos distintos, el $2$ y el $5$.
El número $1$ no es primo.
Si uno de los tres dígitos es igual a la cantidad de factores primos del producto de los otros dos, diremos que es genial.
Un dígito genial no es mayor que $2$, de lo contrario sería al menos $2\times 3\times 5=30$, lo cual es absurdo. Por eso analizaremos dos casos:
Caso 1.
Cuando un número rioplatense tiene como dígito genial a $1$. Entonces, los otros dos dígitos sólo pueden ser $(2, 4)$, $(2, 8)$ o $(3, 9)!$. Por lo tanto, en este caso hay $3!\times 3=18$ números rioplatenses.
Caso 2.
Cuando un número rioplatense tiene a $2$ como dígito genial. Si otro de los dígitos es $1$, entonces necesariamente el otro es $2\times 3=6$. En cambio, si ninguno de los dos dígitos que sobran es $1$, entonces sus posibilidades son $(3, 4)$, $(3, 5)$, $(3, 6)$, $(3, 7)$, $(3, 8)$, $(4, 5)$, $(4, 6)$, $(4, 7)$, $(4, 9)$, $(5, 7)$, $(5, 8)$, $(5, 9)$, $(6, 8)$, $(6, 9)$, $(7, 8)$, $(7, 9)$ y $(8, 9)$. Por lo tanto, en este caso hay $18\times 3!=108$ números rioplatenses.
Finalmente, se concluye que hay $18+108=126$ números rioplatenses.
Si uno de los tres dígitos es igual a la cantidad de factores primos del producto de los otros dos, diremos que es genial.
Un dígito genial no es mayor que $2$, de lo contrario sería al menos $2\times 3\times 5=30$, lo cual es absurdo. Por eso analizaremos dos casos:
Caso 1.
Cuando un número rioplatense tiene como dígito genial a $1$. Entonces, los otros dos dígitos sólo pueden ser $(2, 4)$, $(2, 8)$ o $(3, 9)!$. Por lo tanto, en este caso hay $3!\times 3=18$ números rioplatenses.
Caso 2.
Cuando un número rioplatense tiene a $2$ como dígito genial. Si otro de los dígitos es $1$, entonces necesariamente el otro es $2\times 3=6$. En cambio, si ninguno de los dos dígitos que sobran es $1$, entonces sus posibilidades son $(3, 4)$, $(3, 5)$, $(3, 6)$, $(3, 7)$, $(3, 8)$, $(4, 5)$, $(4, 6)$, $(4, 7)$, $(4, 9)$, $(5, 7)$, $(5, 8)$, $(5, 9)$, $(6, 8)$, $(6, 9)$, $(7, 8)$, $(7, 9)$ y $(8, 9)$. Por lo tanto, en este caso hay $18\times 3!=108$ números rioplatenses.
Finalmente, se concluye que hay $18+108=126$ números rioplatenses.
No entendi la primera parte, pero el $3$ puede ser un digito genial, por ejemplo en $367$.
Digamos que el dígito que marca la cantidad de factores primos del producto de los otros es el importante. El digito importante solo puede ser $1$, $2$ ó $3$, analizamos los casos.
Caso del $1$. El producto solo puede ser:
$1\cdot 2$, $1\cdot 3$, $1\cdot 4$, $1\cdot 5$, $1\cdot 7$, $1\cdot 8$, $1\cdot 9$, $2\cdot 4$, $2\cdot 8$, $3\cdot 9$, $4\cdot 8$
Donde debemos excluir todos los que usen $1$, o sea, quedan $5$ casos y como cada uno tiene $3!$ ordenes, tenemos:
$4\times 3! = 24$ números rioplatenses
Caso del $3$. Lo analizamos sabiendo que el $6$ debe estar con un numero coprimo a este:
$5\cdot 6$, $6\cdot 7$
Como hay $2$ casos y como cada uno tiene $3!$ ordenes, tenemos:
$2\times 3! = 12$ números rioplatenses
Caso del $2$:
Sabemos que todas las maneras de elegir los dos dígitos que se multiplican son $\frac{9\times 8}{2}=36$. Ahora, si sacamos las que tienen $1$ ó $3$ factores comunes que son $13$, sobran $23$ que son las que tienen dos factores comunes.
Nos falta sacar los que usen $2$ que son:
$2\cdot 3$, $2\cdot 5$, $2\cdot 6$, $2\cdot 7$, $2\cdot 9$
Ahora quedan $18$ y como hay $3!$ ordenes, tenemos:
