34 veces la suma

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Pinga2005
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34 veces la suma

Mensaje sin leer por Pinga2005 » Mié 27 Dic, 2017 4:35 pm

Determinar todos los enteros positivos que son iguales a $34$ veces la suma de sus dígitos.

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DiegoLedesma
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Re: 34 veces la suma

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Lun 01 Ene, 2018 12:01 pm

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Básicamente,se buscan los enteros positivos $a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}$, tal que $a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}= 34.(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})$
Esta misma expresión, podemos formularla como $10^{n-1}a_{1}+10^{n-2}a_{2}+10^{n-3}a_{3}+...+10^{n-(n-1)}a_{n-1}+a_{n}=34a_{1}+34a_{2}+34a_{3}+...+34a_{n}$
Ahora bien, analicemos de acuerdo al número de dígitos que posea el número...
*Con 1 dígito: $a_{n}=34a_{n}$ (absurdo)
*Con 2 dígitos: $10a_{n-1}+a_{n}=34a_{n-1}+34a_{n}$ $\Rightarrow$ $-33a_{n}=24a_{n-1}$ (absurdo, pues buscamos enteros positivos)
*Con 3 dígitos: $10^{2}a_{n-2}+10a_{n-1}+a_{n}=34a_{n-2}+34a_{n-1}+34a_{n}$ $\Rightarrow$ $66a_{n-2}-24a_{n-1}-33a_{n}=0$
*Con 4 dígitos: $10^{3}a_{n-3}+10^{2}a_{n-2}+10a_{n-1}+a_{n}=34a_{n-3}+34a_{n-2}+34a_{n-1}+...+34a_{n}$ $\Rightarrow$ $966a_{n-3}+66a_{n-2}-24a_{n-1}-33a_{n}=0$
En este último caso, tampoco habrá soluciones, pues $a_{n-3}\neq 0$, y el mínimo valor de la expresión -igualmente, mayor a 0- se obtendría cuando: $a_{n-3}=1,a_{n-2}=0,a_{n-1}=9,a_{n}=9$
Puede observarse que, cuanto más dígitos tenga $a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}$, el valor mínimo obtenido será mayor.
Analicemos entonces la única posibilidad (número de 3 dígitos):
*Si $a_{n}=1$ $\Rightarrow$ $66a_{n-2}-24a_{n-1}-33a_{n}=0$ (no posee soluciones enteras)
*Si $a_{n}=2$ $\Rightarrow$ $66a_{n-2}-24a_{n-1}-2\ast 33a_{n}=0$ $\Rightarrow$ a(n-2)=1, a(n-1)=0
*Si $a_{n}=3$ $\Rightarrow$ $66a_{n-2}-24a_{n-1}-3\ast 33a_{n}=0$ (no posee soluciones enteras)
*Si $a_{n}=4$ $\Rightarrow$ $66a_{n-2}-24a_{n-1}-4\ast 33a_{n}=0$ $\Rightarrow$ a(n-2)=2, a(n-1)=0
*Si $a_{n}=5$ $\Rightarrow$ $66a_{n-2}-24a_{n-1}-5\ast 33a_{n}=0$ (no posee soluciones enteras)
*Si $a_{n}=6$ $\Rightarrow$ $66a_{n-2}-24a_{n-1}-6\ast 33a_{n}=0$ $\Rightarrow$ a(n-2)=3, a(n-1)=0
*Si $a_{n}=7$ $\Rightarrow$ $66a_{n-2}-24a_{n-1}-7\ast 33a_{n}=0$ (no posee soluciones enteras)
*Si $a_{n}=8$ $\Rightarrow$ $66a_{n-2}-24a_{n-1}-8\ast 33a_{n}=0$ $\Rightarrow$ a(n-2)=4, a(n-1)=0
*Si $a_{n}=9$ $\Rightarrow$ $66a_{n-2}-24a_{n-1}-9\ast 33a_{n}=0$ (no posee soluciones enteras)

$\therefore$ Los únicos enteros que cumplen lo pedido, son: 102, 204, 306 y 408.

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