Coprimos con sus vecinos

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Emerson Soriano

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Coprimos con sus vecinos

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Lun 19 Mar, 2018 3:14 pm

Probar que para todo entero positivo impar $n$ siempre podemos dividir el conjunto $\left \{ n, n+1, n+2, n+3, ... , n+32 \right \}$ en dos partes, una con $14$ números y la otra con $19$ números, tal que los números en cada parte se pueden colocar en una circunferencia (en algún orden), donde cada número es coprimo con sus dos vecinos.

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enigma1234

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Re: Coprimos con sus vecinos

Mensaje sin leer por enigma1234 » Jue 03 May, 2018 7:54 pm

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Es claro que entre $n+1,n+2,...,n+13$ habra exactamente un múltiplo de $13$ entonces es claro que habrá $5$ consecutivos entre estos tal que ninguno estos sean coprimos con $13$.
Y entre estos es claro que habrá al menos 2 que son coprimos con $15$ (analizando los casos de mod $3$ y mod $5$).Sea el mínimo de estos $n+x$,$0<x<14$ entonces separamos el conjunto en $\{n,n+1,..,n+x,n+x+15,n+x+16,...,n+32\} $ y $\{n+x+1,n+x+2,..,n+x+14\} $ y los ponemos en este orden en las circunferencias.Veamos que este arreglo cumple ,dado que son algunos consecutivos solo debemos analizar los casos de coprimidad entre $(n+x,n+x+15), (n,n+32),(n+x+1,n+x+14 ) $ el primero cumple dado que al escoger aseguramos que $n+x$ y $15$ son coprimos, el segundo cumple dado que $n $ es impar y $32$ es una potencia de $2$ y el tercero dado que $n+x$ es el mínimo entonces $n+x+1$ esta entre los $5$ consecutivos coprimos con $13$ y es claro que cumple.
One in a millon...my lucky strike! :D

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