Selectivo de Cono 2018 P1

[Matías]

Los números naturales $k$ y $N$ satisfacen la siguiente condición: la multiplicación de todos los números naturales desde $N$ hasta $N+k$ es igual a $6952862280$, es decir
$$N\times (N+1)\times\cdots\times (N+k)=6952862280$$
Hallar todos los posibles valores de $k$ y $N$, sabiendo que el último dígito de $N$ es $1$.

[Matías]

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Como $N\equiv 1(10)$ y $5\mid 6952862280$ tenemos que debe ser $k\geq 4$, ya que $5\nmid N(N+1)(N+2)(N+3)$.
Y como $9\nmid 6952862280$ tenemos que debe ser $k\leq 4$, ya que $3\mid N(N+1)(N+2)\wedge 3\mid (N+3)(N+4)(N+5)\implies 9\mid N(N+1)(N+2)(N+3)(N+4)(N+5)$
Por lo tanto obtenemos que $k=4$. Si $N=91$ obtenemos que $91\times 92\times 93\times 94\times 95=6952862280$, y no puede haber otro $N$, ya que si $N$ es menor o mayor a $91$ el producto será menor o mayor, respectivamente.
Por lo tanto concluimos que $N=91$ y $k=4$.

[Turko Arias]

Un breve y trivial comentario para que el valor de $N$ no sea tan galerazo:

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$90^5=9^5*10^5=59049*100000<6952862280<100^5$, luego, como $N$ termina el $1$ nuestro único candidato es $N=91$.

[sebach]

Pero ahí no es medio galerazo el $90$? Como que acá podés probar porque el número es "chico", pero podría ser peor.
$\sqrt[5]{6952862280} = 92.98 ... \Rightarrow 93^5 > 6952862280 $

[Gianni De Rico]

El $90$ no tiene nada de galerazo en mi opinión. Como dice arriba $6952862280<100^5$ (se ve fácil porque tiene exactamente $10$ dígitos), entonces es lógico probar con $91$, que es el número más cercano a $100$ que termina en $1$ y es menor que $100$.

[Turko Arias]

es muy calculable a mano la raíz cuadrada de $6952862280$... nosierto? Tiene sentido probar como dice Gianni con el anterior que podría ser posible, y para convencerse el $90^5$ es una cota comoda para ver... Digo, $9^3$ y $9^2$ son números conocidos más o menos, por lo que calcular $90^5$ estaría reducido a ver $729*81$ y meterle ceros al final, calcular $91^5$ solo para ver que onda ya es más tedioso. Por otro lado, no se, si uno quisiera no se... Bajar al $80$ porque no le parece intuitivo el $90$, en la mente se puede jugar con el $80^5=8^5*10^5=2^{15}*10^5$ y ver que $2^{10}=1024$ con lo que $2^{13}<10000$ por lo que $2^{15}<10000*4$ y tiene sentido imaginarse entonces que el $81$ ya queda corto, lo mismo si mirara un $20$, o un $40$, y es un selectivo de Cono, son cuentas que un participante más o menos puede hacer mentalmente para ir deduciendo cotas. De igual modo no me parece raro que alguien encare el $91$ de una porque es el más grande no descartado, pero por las dudas propuse una alternativa por si alguien no lo veía tan intuitivo.