Selectivo de Cono 2018 P1

[Matías]

Los números naturales $k$ y $N$ satisfacen la siguiente condición: la multiplicación de todos los números naturales desde $N$ hasta $N+k$ es igual a $6952862280$, es decir
$$N\times (N+1)\times\cdots\times (N+k)=6952862280$$
Hallar todos los posibles valores de $k$ y $N$, sabiendo que el último dígito de $N$ es $1$.

[Matías]

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Como $N\equiv 1(10)$ y $5\mid 6952862280$ tenemos que debe ser $k\geq 4$, ya que $5\nmid N(N+1)(N+2)(N+3)$.
Y como $9\nmid 6952862280$ tenemos que debe ser $k\leq 4$, ya que $3\mid N(N+1)(N+2)\wedge 3\mid (N+3)(N+4)(N+5)\implies 9\mid N(N+1)(N+2)(N+3)(N+4)(N+5)$
Por lo tanto obtenemos que $k=4$. Si $N=91$ obtenemos que $91\times 92\times 93\times 94\times 95=6952862280$, y no puede haber otro $N$, ya que si $N$ es menor o mayor a $91$ el producto será menor o mayor, respectivamente.
Por lo tanto concluimos que $N=91$ y $k=4$.

[Turko Arias]

Un breve y trivial comentario para que el valor de $N$ no sea tan galerazo:

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$90^5=9^5*10^5=59049*100000<6952862280<100^5$, luego, como $N$ termina el $1$ nuestro único candidato es $N=91$.

[sebach]

Pero ahí no es medio galerazo el $90$? Como que acá podés probar porque el número es "chico", pero podría ser peor.
$\sqrt[5]{6952862280} = 92.98 ... \Rightarrow 93^5 > 6952862280 $

[Gianni De Rico]

El $90$ no tiene nada de galerazo en mi opinión. Como dice arriba $6952862280<100^5$ (se ve fácil porque tiene exactamente $10$ dígitos), entonces es lógico probar con $91$, que es el número más cercano a $100$ que termina en $1$ y es menor que $100$.

[Turko Arias]

es muy calculable a mano la raíz cuadrada de $6952862280$... nosierto? Tiene sentido probar como dice Gianni con el anterior que podría ser posible, y para convencerse el $90^5$ es una cota comoda para ver... Digo, $9^3$ y $9^2$ son números conocidos más o menos, por lo que calcular $90^5$ estaría reducido a ver $729*81$ y meterle ceros al final, calcular $91^5$ solo para ver que onda ya es más tedioso. Por otro lado, no se, si uno quisiera no se... Bajar al $80$ porque no le parece intuitivo el $90$, en la mente se puede jugar con el $80^5=8^5*10^5=2^{15}*10^5$ y ver que $2^{10}=1024$ con lo que $2^{13}<10000$ por lo que $2^{15}<10000*4$ y tiene sentido imaginarse entonces que el $81$ ya queda corto, lo mismo si mirara un $20$, o un $40$, y es un selectivo de Cono, son cuentas que un participante más o menos puede hacer mentalmente para ir deduciendo cotas. De igual modo no me parece raro que alguien encare el $91$ de una porque es el más grande no descartado, pero por las dudas propuse una alternativa por si alguien no lo veía tan intuitivo.

[Sandy]

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Se puede probar fácilmente que 6952862280 es es múltiplo de 8 pero no de 16. Como N, N+1, N+2... N+k son consecutivos, los números pares e impares se alternan, por lo que no puede haber más de k/2 números pares (ya que N termina en 1, es decir que es impar). Ahora, como el 2 aparece sólo 3 veces dentro de sus factores primos (2³), sólo 3 números de la serie N, N+1, N+2...N+k pueden ser pares. Pero esto lleva una contradicción, ya que ese 2³ hace que ninguno de esos 3 números pares tenga a 2² como divisor (ya que cada uno como mucho puede tener 2¹ si se divide en 3 el 2³), mas sabemos que la mitad de los números pares (se alternan) son múltiplos de 4, es decir, de 2², por lo que no puede haber dos números pares consecutivos tales que ninguno sea múltiplo de 4. Con esto demostramos ya que en la serie N, N+1, N+2...N+k sólo puede haber dos números pares, uno de ellos múltiplo de 4. Por lo tanto dicha serie tiene como mucho 5 números (Impar, Par, Impar, Par, Impar), y por lo tanto k≤4.
Ahora, también puede fácilmente verse que 6952862280 es múltiplo de 10. Para esto, tiene que tener como factores primos 2 y 5. Para que tenga al 2, k debe ser mayor o igual a 1 (ya que N termina en 1, N+1 termina en 2 y es par) y para que tenga al 5 como divisor, k debe ser mayor o igual a 4, ya que N+4 termina en 5, y por lo tanto es múltiplo de 5. Es decir, k≥4.
En resumen: para que N(N+1)...(N+k) sea múltiplo de 8 pero no de 16, k≤4, y para que N(N+1)...(N+k) sea múltiplo de 5, k≥4.
De estas dos afirmaciones tenemos que que 4≥k≥4, es decir, k=4, por lo tanto ahora sólo resta resolver la ecuación N(N+1)(N+2)(N+3)(N+4)=6952862280.
Sabemos que N<100, dado que 100^5>6952862280, y luego N>90, dado que 90^5=(9^5).(10^5)=59049.10^5 y 5904900000<6952862280. Por lo tanto 90<N<100, a lo que la única opción que queda es N=91. Comprobando, 91.92.93.94.95=6952862280

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