Selectivo de Cono 2018 P5

Matías

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Selectivo de Cono 2018 P5

Mensaje sin leer por Matías » Vie 13 Abr, 2018 11:30 am

En el pizarrón están escritos $n$ números enteros positivos ($n>1$). En cada paso se agrega al pizarrón un nuevo número que es igual a la suma de los cuadrados de todos los números ya escritos. (Por ejemplo: si inicialmente los números son $1$, $2$, $2$, entonces en el primer paso se agrega el número $1^2+2^2+2^2$.) Demostrar que el número que se agrega en el paso $100$ tiene al menos $100$ divisores primos diferentes.

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¿hola?

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Re: Selectivo de Cono 2018 P5

Mensaje sin leer por ¿hola? » Vie 13 Abr, 2018 8:14 pm

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Supongamos que en el paso $x$ se agregó el número $M_x$ con por lo menos $x$ divisores primos distintos entonces en el paso $x+1$ se agrega el número $M_{x+1}$ que es igual a $M_x^2+M_x=M_x(M_x+1)$ que tiene todos los divisores primos de $M_x$ más los de $M_x+1$ que son por lo menos uno (ya que en ningún momento la sucesión da 1 por que es creciente y en principio es mayor a $1$) y además son distintos a los de $M_x$ por ser coprimos, entonces $M_{x+1}$ tiene por lo menos $x+1$ divisores primos.
Veamos en el caso base de $x=1$ pasos el número $M_1$ tiene por lo menos un divisor primo ya que no es igual a $1$. Luego por inducción $M_{100}$ tiene por lo menos $100$ divisores primos.
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