Demostrar que si entre los infinitos términos de una progresión aritmética de números enteros positivos hay un cuadrado perfecto, entonces infinitos términos de la progresión son cuadrados perfectos.
(En una progresión aritmética cada término se logra sumándole un número fijo [math]k al término anterior)
Sea [math]a_{0} = b y [math]a_n = b + n.k el término que es un cuadrado perfecto (supongamos el primero que aparece en la progresión), donde [math]k es el número fijo que se suma término a término.
Entonces [math]a_n = c^{2} para algún [math]c \in \mathbb{N}
Notemos que claramente, para que la progresión sea de todos números enteros estrictamente positivos, [math]k>0, de forma contraria en algún momento nos pasaríamos a los negativos. También [math]b>0
Sea m natural, entonces sabemos que [math]c^{2} + 2cmk + (mk)^{2} = (c+mk)^2
La idea va a ser sumarle al término [math]a_n lo que falta para llegar a ese nuevo cuadrado, es decir [math]2cmk + (mk)^{2}
Entonces tendríamos: [math]a_i = b + n.k + 2cmk + (mk)^{2}
Sacando factor común k [math]a_i = b +k( n + 2cm + km^{2})
De donde sacamos que [math]i=n + 2cm + km^{2}, y como claramente [math]n + 2cm + km^{2}>n tenemos [math]a_n < a_{n + 2cm + km^{2}}
Ahora, [math]a_{n + 2cm + km^{2}} lo habíamos armado para que de un cuadrado, y sí, [math]a_{n + 2cm + km^{2}} = (c+mk)^2.
Finalmente para cada valor de m la progresión va a tomar un valor cuadrado perfecto y como m puede tomar infinitos valores, hay infinitos cuadrados perfectos en la progresión, como queríamos probar.
