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Mateo multiplicó dos o más números enteros positivos consecutivos y obtuvo como resultado el número $n=47xy74$ con $x$ e $y$ dígitos.
Determinar que números multiplicó Mateo. Dar todas las posibilidades.

Voy a intentar hacer cada paso lo más intuitivo posible y deducir algunas cosas a base de probar con casos para intentar plantear un esquema de como atacar a este problema en la prueba

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Como $n$ termina en $74$, por la regla de divisibilidad del $4$ entonces $n$ no es divisible por $4$. Pero uno puede ver fácilmente que si considero $4$ o más números consecutivos, siempre voy a tener al menos un múltiplo de $4$, por lo que al multiplicarlos el resultado también lo sería. Como $n$ no es múltiplo de $4$, concluímos que $n$ es el producto o bien de dos números consecutivos, o bien de tres. Si $n$ fuera producto de dos números consecutivos, entonces existirían dos números consecutivos que al multiplicarlos el resultado termina en $4$, pero esto es imposible, basta con chequearlo a mano:
Si el primer número termina en $0$ y el siguiente en $1$ el producto termina en $0$
Si el primer número termina en $1$ y el siguiente en $2$ el producto termina en $2$
Si el primer número termina en $2$ y el siguiente en $3$ el producto termina en $6$
Si el primer número termina en $3$ y el siguiente en $4$ el producto termina en $2$
Si el primer número termina en $4$ y el siguiente en $5$ el producto termina en $0$
Si el primer número termina en $5$ y el siguiente en $6$ el producto termina en $0$
Si el primer número termina en $6$ y el siguiente en $7$ el producto termina en $2$
Si el primer número termina en $7$ y el siguiente en $8$ el producto termina en $6$
Si el primer número termina en $8$ y el siguiente en $9$ el producto termina en $2$
Si el primer número termina en $9$ y el siguiente en $0$ el producto termina en $0$

Por lo tanto si $n$ pudiera ser el producto de números consecutivos, tendría que serlo de exactamente tres números consecutivos. Pero para resolverlo habría que poder tener algún candidato a valor de esos números, y siendo un poco bichos y aprovechándonos de que podemos usar la calculadora en la prueba, tomamos el menor valor posible de $n$ que es $470074$ y le calculamos su raíz cúbica, que nos da más o menos $77,75$, por lo que $77$ parece un buen candidato para probar como el menor de los tres números a multiplicar, y resulta que $77*78*79=474474$. Ahora tomamos el mayor valor posible de $n$ que es $479974$ y le calculamos su raíz cúbica, que nos da más o menos $78,29$, con lo que si existieran otros tres valores que multiplicados dieran algo que tenga forma de $47xy74$ entonces el menor de los tres no podría ser más grande que $78$ porque en ese caso, al multiplicar a los tres obtendría algo más grande que el más grande de los $n$. No hace falta probar con $78*79*80$ porque va a terminar en cero, por lo tanto hay un solo ejemplo y es $77*78*79=474474$.