IMO 2007 - P5

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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Jul, 2018 1:17 pm

Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $4ab-1$ divide a $(4a^2-1)^2$.
Demostrar que $a=b$.
[math]

juandodyk
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Re: IMO 2007 - P5

Mensaje sin leer por juandodyk » Sab 28 Jul, 2018 9:20 pm

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Supongamos que la afirmación es falsa. Entonces existen $a,b$ con $4ab-1 \mid (4a^2-1)^2$, $a\neq b$, y podemos tomar $a$ mínimo.

Tenemos $(4ab-1)q = (4a^2-1)^2$, con $q$ entero positivo, luego $-q \equiv 1 \, (\text{mód }4a)$, es decir, hay $c$ entero tal que $q=4ac-1$; se ve que $c$ es positivo. Esto da $(4ab-1)(4ac-1) = (4a^2-1)^2$. Como $a\neq b$, tenemos $b<a$ o $c<a$. Podemos tomar $b<a$, intercambiándolo por $c$ si hace falta.

Ahora sea $u=4ab-1$, entero positivo. Entonces $a=\frac{u+1}{4b}$ y, reemplazando en $u\mid (4a^2-1)^2$, tenemos $u\mid (4(\frac{u+1}{4b})^2-1)^2 = (\frac{4(u+1)^2-4^2b^2}{4^2b^2})^2$, que implica $u\mid ((u+1)^2-4b^2)^2$ y $u\mid (4b^2-1)^2$. Pero $u=4ab-1$, así que $4ab-1 \mid (4b^2-1)^2$. Estamos en la situación del enunciado, pero con los roles de $a$ y $b$ invertidos. Como $b<a$ y $a$ era mínimo tal que $a\neq b$, debe darse $a=b$, absurdo. Queda probada la afirmación.
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