IMO 2007 - P5

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Gianni De Rico

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IMO 2007 - P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $4ab-1$ divide a $(4a^2-1)^2$. Demostrar que $a=b$.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
juandodyk

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Re: IMO 2007 - P5

Mensaje sin leer por juandodyk »

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Supongamos que la afirmación es falsa. Entonces existen $a,b$ con $4ab-1\mid \left (4a^2-1\right )^2$, $a\neq b$, y podemos tomar $a$ mínimo.

Tenemos $(4ab-1)q=\left (4a^2-1\right )^2$, con $q$ entero positivo, luego $-q\equiv 1\pmod{4a}$, es decir, hay $c$ entero tal que $q=4ac-1$; se ve que $c$ es positivo. Esto da $(4ab-1)(4ac-1)=\left (4a^2-1\right )^2$. Como $a\neq b$, tenemos $b<a$ o $c<a$. Podemos tomar $b<a$, intercambiándolo por $c$ si hace falta.

Ahora sea $u=4ab-1$, entero positivo. Entonces $a=\frac{u+1}{4b}$ y, reemplazando en $u\mid \left (4a^2-1\right )^2$, tenemos $u\mid \left (4 \left (\frac{u+1}{4b}\right )^2-1\right )^2=\left (\frac{4(u+1)^2-4^2b^2}{4^2b^2}\right )^2$, que implica $u\mid \left ((u+1)^2-4b^2\right )^2$ y $u\mid \left (4b^2-1\right )^2$. Pero $u=4ab-1$, así que $4ab-1\mid \left (4b^2-1\right )^2$. Estamos en la situación del enunciado, pero con los roles de $a$ y $b$ invertidos. Como $b<a$ y $a$ era mínimo tal que $a\neq b$, debe darse $a=b$, absurdo. Queda probada la afirmación.
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