IMO 2018 - P5

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Gianni De Rico

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IMO 2018 - P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 10 Jul, 2018 9:44 am

Sea $a_1,a_2,\ldots$ una sucesión infinita de enteros positivos. Supongamos que existe un entero $N>1$ tal que para cada $n\geqslant N$ el número $$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\ldots +\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}$$ es entero. Demostrar que existe un entero positivo $M$ tal que $a_m=a_{m+1}$ para todo $m\geqslant M$.
[math]

juandodyk
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Re: IMO 2018 - P5

Mensaje sin leer por juandodyk » Jue 19 Jul, 2018 10:41 pm

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Si $n \geqq N$ tenemos que $\frac{a_1}{a_2} + \cdots + \frac{a_n}{a_1}$ y $\frac{a_1}{a_2} + \cdots + \frac{a_n}{a_{n+1}} + \frac{a_{n+1}}{a_1}$ son enteros, por lo que su resta también es entera, es decir, $\frac{a_n}{a_{n+1}} + \frac{a_{n+1}-a_n}{a_1}$ es entero. Esto quiere decir que $a_1a_{n+1} \mid a_1a_n + a_{n+1}(a_{n+1}-a_n)$.

Sea $a_1 = p_1^{\alpha_1} \ldots p_r^{\alpha_r}$ su descomposición en primos. Sean, para cada $n\geqq N$, $b_n$ y $c_n$ enteros positivos tales que $a_n = b_nc_n$, donde los únicos primos que dividen a $b_n$ están en $\{p_1,\ldots,p_r\}$ y $(c_n,a_1)=1$; tenemos $(b_n,c_n)=1$. Tenemos $a_{n+1} \mid a_1a_n$, $c_{n+1} \mid a_1b_nc_n$, y $c_{n+1}\mid c_n$. Por lo tanto la secuencia $(c_n)_{n\geqq N}$ es monótona decreciente, y por lo tanto a partir de un punto (su mínimo) es constante. Sea $n_0$ tal que $(c_n)_{n\geqq n_0}$ es constante.

Sea $i\in\{1,\ldots,r\}$, sea $p=p_i$, $\alpha=\alpha_i$, sea $n\geqq N$, sea $\beta$ máximo tal que $p^\beta \mid a_n$ (a lo cual notamos $p^\beta \mid\mid a_n$) y sea $\gamma$ tal que $p^\gamma \mid\mid a_{n+1}$. Tenemos $p^{\alpha+\gamma} \mid\mid a_1a_{n+1}$ por lo que $p^{\alpha+\gamma} \mid a_1a_n + a_{n+1}(a_{n+1}-a_n)$.

Supongamos que $\gamma<\beta$. Tenemos $p^{\alpha+\gamma}\mid p^{\alpha+\beta}\mid a_1a_n$, así que $p^{\alpha+\gamma}\mid a_{n+1}(a_{n+1}-a_n)$. Ahora $p^{2\gamma} \mid\mid a_{n+1}(a_{n+1}-a_n)$, luego $\alpha+\gamma \leqq 2\gamma$, $\alpha \leqq \gamma$ y $\alpha < \beta$. Probamos que $\gamma < \beta$ implica que $\alpha < \beta$; entonces si $\beta \leqq \alpha$ entonces $\gamma \geqq \beta$.

Supongamos que $\gamma > \beta$. Entonces $p^{\beta+\gamma} \mid\mid a_{n+1}(a_{n+1}-a_n)$. Si $\alpha \leqq \beta$ entonces $p^{\alpha+\gamma} \mid p^{\beta+\gamma} \mid a_{n+1}(a_{n+1}-a_n)$, así que $p^{\alpha+\gamma} \mid a_1a_n$ y $\alpha+\gamma \leqq \alpha+\beta$, que implica $\gamma \leqq \beta$, absurdo. Entonces $\alpha > \beta$. Probamos que $\gamma > \beta$ implica $\alpha > \beta$. Por lo tanto, si $\beta \geqq \alpha$ entonces $\gamma \leqq \beta$. Además, si en ese caso $\gamma < \alpha$, tenemos $\gamma < \beta$, y por el razonamiento del párrafo anterior tenemos $\alpha \leqq \gamma$, contradicción. Entonces si $\beta \geqq \alpha$ tenemos $\alpha \leqq \gamma \leqq \beta$.

Sea $\beta_n$ tal que $p^{\beta_n} \mid\mid a_n$. Notar que $(\beta_n)_{n\geqq N}$ es acotada, ya que si no habría $n$ con $\beta_n \geqq \alpha$, pero si sucede eso tenemos $\alpha \leqq \beta_{n+1} \leqq \beta_n$ por el razonamiento anterior, por lo que $(\beta_m)_{m\geqq n}$ es monótona decreciente, y por lo tanto es acotada, absurdo. Sea pues $n\geqq N$ tal que $\beta_n$ es máximo. Si $\beta_n \leqq \alpha$ entonces $\beta_{n+1} \geqq \beta_n$ por lo probado antes, así que $\beta_{n+1}=\beta_n$, y en general $(\beta_m)_{m\geqq n}$ es constante. Si $\beta_n \geqq \alpha$ vimos que a partir de ahí la secuencia es monótona decreciente, luego a partir de un punto es constante. Existe, pues, $n_i \geqq N$ tal que $(\beta_n)_{n\geqq n_i}$ es constante.

Sea $M$ el máximo de $n_0, n_1, \ldots, n_r$. Tenemos que $(c_n)_{n\geqq M}$ y $(\beta_n^i)_{n\geqq M}$ son constantes, donde $p_i^{\beta_n^i} \mid\mid a_n$. Ahora $a_n = b_nc_n = p_1^{\beta_n^1} \ldots p_r^{\beta_n^r} c_n$, luego $(a_n)_{n\geqq M}$ es constante, como queríamos probar.

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